Question

（2010•高要市二模）已知，如圖，等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為2，以BC為對(duì)稱軸將△ABC翻折，得到四邊形ABDC，將此四邊形放在直角坐標(biāo)系xOy中，使AB在x軸上，點(diǎn)D在直線上．
（1）根據(jù)上述條件畫出圖形，并求出A、B、D、C的坐標(biāo)；
（2）若直線與y軸交于點(diǎn)P，拋物線y=ax²+bx+c，過A、B、P三點(diǎn)，求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并指出這個(gè)點(diǎn)在△ABC的什么特殊位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了正三角形的邊長(zhǎng)為2，即可求得D、C的縱坐標(biāo)為，將其代入直線中，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，易知四邊形ABDC是菱形，根據(jù)菱形的邊長(zhǎng)為2，以及點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可確定出其他三點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)直線的解析式，易求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，而A、B的坐標(biāo)在（1）題已經(jīng)求得，即可利用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式．
（3）可用配方法將（2）題所得函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，進(jìn)而可求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)來判斷它在△ABC中的特殊位置．
解答：解：（1）依題意，四邊形ABDC為菱形，
∵AB=2，∠CAB=60°，
∴C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)均為；
設(shè)，
∵點(diǎn)D在直線上，
∴，
∴；
如圖，（4分）

（2），拋物線過A、B、P三點(diǎn)，
∴
解得；
∴．（6分）

（3）=，
∴頂點(diǎn)；（7分）
這個(gè)點(diǎn)在△ABC的內(nèi)心位置．（8分）
（答外心、重心、垂心均可）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)界限的確定等知識(shí)．正確的求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是解決此題的關(guān)鍵，難度適中．