Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2﹣2x+c經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A(0，1)，點(diǎn)B(9，10)，AC∥x軸．

(1)求這條拋物線的解析式.

(2)求tan∠ABC的值.

(3)若點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E是直線AC上一點(diǎn)，當(dāng)△CDE與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)E(4，1)或E(﹣3，1)．

【解析】

(1)將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得a、c的值即可；

(2)過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，先證明△ABH和△ACG均為等腰直角三角形，再求出CG和BG的長(zhǎng)，然后依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可；

(3)過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AC，垂足為K，先證明△DCK為等腰直角三角形，則∠DCK＝∠BAC，當(dāng)或時(shí)，△CDE與△ABC相似，然后可求得CE的長(zhǎng)．

解：(1)∵拋物線y＝ax2﹣2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，1)和點(diǎn)B(9，10)，

∴，解得．

∴這條拋物線的解析式為．

(2)過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

∵AC∥x軸，A(0，1)，B(9，10)，∴H(9，1)，∴BH＝AH＝9．

又∵∠BHA＝90°，∴△HAB是等腰直角三角形，∴∠HAB＝45°．

∵AC∥x軸，A(0，1)，對(duì)稱軸為直線，∴C(6，1).

過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，

∵∠GAC＝45°，∠AGC＝90°，∴，∴．

又∵在Rt△ABH中，，∴．

∴在Rt△BCG中，．

(3)如圖2所示：過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AC，垂足為K，

∵點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，∴D(3，﹣2)．

∴K(3，1)，∴CK＝DK＝3．

又∵∠CKD＝90°，∴△CDK是等腰直角三角形，∴∠DCK＝45°

又∵∠BAC＝45°，

∴∠DCK＝∠BAC．

∴要使△CDE與△ABC相似，則點(diǎn)E在點(diǎn)C的左側(cè)．

當(dāng)時(shí)，則，∴EC＝2，∴E(4，1)；

當(dāng)時(shí)，則，∴EC＝9，∴E(﹣3，1)．

綜上所述，當(dāng)△CDE與△ABC相似時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4，1)或(﹣3，1)．