Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.拋物線y=ax²+bx過A、C兩點.   

(1)直接寫出點A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；

(2)動點P從點A出發(fā)．沿線段AB向終點B運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向終點D運動．速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒.過點P作PE⊥AB交AC于點E

①過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G.當(dāng)t為何值時，線段EG最長?

②連接EQ．在點P、Q運動的過程中，判斷有幾個時刻使得△CEQ是等腰三角形?請直接寫出相應(yīng)的t值.

 

 

 

Answer 1

【答案】

(1)點A的坐標(biāo)為（4，8）           

將A (4,8)、C（8，0）兩點坐標(biāo)分別代入y=ax²+bx

              得8=16a+4b

                0=64a+8b

        解得a=,b=4

∴拋物線的解析式為：y=-x²+4x        

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=

∴PE=AP=t．PB=8-t．

∴點Ｅ的坐標(biāo)為（4+t，8-t）.

    ∴點G的縱坐標(biāo)為：-（4+t）²+4(4+t）=-t²+8.  

∴EG=-t²+8-(8-t)

    =-t²+t.

∵-＜0，∴當(dāng)t=4時，線段EG最長為2.       

②共有三個時刻：t₁=，  t₂=，t₃= ．               

【解析】（1）根據(jù)題意即可得到點A的坐標(biāo)，再由A、C兩點坐標(biāo)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，由tan∠PAE，即可表示出點E的坐標(biāo)，從而得到點G的坐標(biāo)，EG的長等于點G的縱坐標(biāo)減去點E的縱坐標(biāo)，得到一個函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征即可求得結(jié)果；②考慮腰和底，分情況討論。