Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DP⊥BC，分別交BA，CA或它們的延長線于點(diǎn)P，Q．
求證：DP+DQ是定值．

Answer 1

【答案】分析：過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，作AN⊥DQ于點(diǎn)N，然后判定△AQP為等腰三角形，從而證明DP+DQ=2AM，問題得證．
解答：證明：過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，作AN⊥DQ于點(diǎn)N，（2分）
∴四邊形AMDN為矩形．
∴AM=DN．
∵DP⊥BC，
∴∠B+∠P=90°．
∴∠C+∠DQC=90°．
又∵∠C=∠B，∠DQC=∠PQA
∴∠AQM=∠P．
∴△AQP為等腰三角形．
∴PN=QN．（4分）
∴DP+DQ=DN+NP+DQ
=DN+NQ+DQ
=2AM，（5分）
即DP+DQ是定值．
點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，證明線段的和為定值的問題比較少見．