Question

【題目】拋物線，若a，b，c滿足b=a+c，則稱拋物線為“恒定”拋物線．

（1）求證：“恒定”拋物線必過x軸上的一個定點A；

（2）已知“恒定”拋物線的頂點為P，與x軸另一個交點為B，是否存在以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線，使得以PA，CQ為邊的四邊形是平行四邊形？若存在，求出拋物線解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2），或．

【解析】

試題（1）由“恒定”拋物線的定義，即可得出拋物線恒過定點（﹣1，0）；

（2）求出拋物線的頂點坐標(biāo)和B的坐標(biāo)，由題意得出PA∥CQ，PA=CQ；存在兩種情況：①作QM⊥AC于M，則QM=OP=，證明Rt△QMC≌Rt△POA，MC=OA=1，得出點Q的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，把點A坐標(biāo)代入求出a的值即可；

②頂點Q在y軸上，此時點C與點B重合；證明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=，得出點Q坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，把點C坐標(biāo)代入求出a的值即可．

試題解析：（1）由“恒定”拋物線，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵拋物線，當(dāng)x=﹣1時，y=0，∴“恒定”拋物線必過x軸上的一個定點A（﹣1，0）；

（2）存在；理由如下：∵“恒定”拋物線，當(dāng)y=0時，，解得：x=±1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0時，y=，∴頂點P的坐標(biāo)為（0，），以PA，CQ為邊的平行四邊形，PA、CQ是對邊，∴PA∥CQ，PA=CQ，

∴存在兩種情況：①如圖1所示：作QM⊥AC于M，則QM=OP=，∠QMC=90°=∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，∵CQ=PA，QM=OP，∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵點A和點C是拋物線上的對稱點，∴AM=MC=1，∴點Q的坐標(biāo)為（﹣2，），設(shè)以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線的解析式為，把點A（﹣1，0）代入得：a=，∴拋物線的解析式為：，即；

②如圖2所示：頂點Q在y軸上，此時點C與點B重合，∴點C坐標(biāo)為（1，0），∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，∵∠OQC=∠OPA，∠COQ=∠AOP，CQ=PA，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，∴點Q坐標(biāo)為（0，），設(shè)以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線的解析式為，把點C（1，0）代入得：a=，∴拋物線的解析式為：；

綜上所述：存在以Q為頂點，與x軸另一個交點為C的“恒定”拋物線，使得以PA，CQ為邊的四邊形是平行四邊形，拋物線的解析式為：，或．