如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD為矩形,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(6,1)、(6,3),C、D在y軸上,點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),以每秒3個(gè)單位的速度沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)M作MP⊥AD,交BD于點(diǎn)P,連接NP,兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)了t秒.
(1)當(dāng)t=1時(shí),求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí),△NPB的面積S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最大值;
(3)當(dāng)S取最大值時(shí),將矩形ABCD向上平移1個(gè)單位(如圖2),此時(shí),若點(diǎn)Q在x軸上,且△QBM是以MB為腰的等腰三角形時(shí),求Q點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)當(dāng)t=1時(shí),AM=3×1=3,得到M點(diǎn)為AD的中點(diǎn),則P點(diǎn)為DB的中點(diǎn),即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2);
(2)延長(zhǎng)MP交BC于H,由AM=3t,CN=t,得到BN=6-t,BH=3t,利用△BHP∽△BCD,通過相似比可求出PH=t,根據(jù)三角形的面積公式表示出S=-(t-3)2+(0≤t≤2),再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)t=2時(shí),S最大,最大值為4;
(3)根據(jù)題意得到點(diǎn)M與D點(diǎn)重合,D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),B點(diǎn)坐標(biāo)為(6,4),A點(diǎn)坐標(biāo)為(6,2),由勾股定理得到BM==2,△QBM是以MB為腰的等腰三角形時(shí),討論:MB=MQ;BM=BQ.延長(zhǎng)BA交x軸于G點(diǎn),連DG,則△MGB為等腰直角三角形,Q點(diǎn)在G點(diǎn),即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,0);再利用勾股定理可求出Q′G,從而得到OQ′,即可得到Q′的坐標(biāo).
解答:解:(1)當(dāng)t=1時(shí),AM=3×1=3,
∴M點(diǎn)為AD的中點(diǎn),
∵M(jìn)P⊥AD,
∴P點(diǎn)為DB的中點(diǎn),
而A點(diǎn)坐標(biāo)為(6,1),四邊形ABCD為矩形,
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),
又∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(6,3),
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2);

(2)延長(zhǎng)MP交BC于H,如圖,
∵AM=3t,CN=t,
∴BN=6-t,BH=3t,
又∵PH∥CD,
∴△BHP∽△BCD,
=,即=,
∴PH=t,
∴S=•t(6-t)
=-(t-3)2+ (0≤t≤2)
∴當(dāng)t=2時(shí),S最大,最大值為4;

(3)當(dāng)S取最大值時(shí),將矩形ABCD向上平移1個(gè)單位,
∴點(diǎn)M與D點(diǎn)重合,D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),B點(diǎn)坐標(biāo)為(6,4),A點(diǎn)坐標(biāo)為(6,2),
∴BM==2,
延長(zhǎng)BA交x軸于G點(diǎn),連DG,如圖,
∵AB=AG=2,即MA垂直平分BG,
∴△MGB為等腰直角三角形,
∴Q點(diǎn)在G點(diǎn),即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,0);
當(dāng)BQ′=BM,
∴Q′G==2,
∴OQ′=6-2或6+2
∴Q′的坐標(biāo)為(6-2,0)或(6+2,0)
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,0)或(6-2,0)或(6+2,0).
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k,當(dāng)a<0,x=h,y的最大值為k;當(dāng)x<h,y隨x的增大而增大.也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式、勾股定理以及分類討論思想的運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

23、在數(shù)學(xué)上,為了確定平面上點(diǎn)的位置,我們常用下面的方法:如圖甲,在平面內(nèi)畫兩條互相垂直,并且有公共原點(diǎn)O的數(shù)軸,通常一條畫成水平,叫x軸,另一條畫成鉛垂,叫y軸,這樣,我們就說在平面上建立了一個(gè)平面直角坐標(biāo)系,這是由法國(guó)數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立的,這樣我們就能確定平面上點(diǎn)的位置,例如,要確定點(diǎn)M的位置,只要作MP⊥x軸,MP⊥y軸,設(shè)垂足N,P在各自數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為x,y,則x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo),有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做M點(diǎn)的坐標(biāo),如圖甲,點(diǎn)M的坐標(biāo)記作(2,3),(1)△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖乙,請(qǐng)把△ABC向右平移3個(gè)單位,在平面直角坐標(biāo)系中畫出平移后的△A′B′C′;
(2)請(qǐng)寫出平移后點(diǎn)A′的坐標(biāo),記作
(2,2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,將一塊腰長(zhǎng)為2
2
cm的等腰直角三角板ABC如圖放置,BC邊與x軸重合,∠ACB=90°,直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,0).
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為
(-3,2
2
(-3,2
2
,點(diǎn)B的坐為
(-3-2
2
,0)
(-3-2
2
,0)
;
(2)求以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)且過點(diǎn)A的拋物線的解析式;
(3)現(xiàn)三角板ABC以1cm/s的速度沿x軸正方向平移,則平移的時(shí)間為多少秒時(shí),三角板的邊所在直線與半徑為2cm的⊙O相切?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:同步輕松練習(xí) 八年級(jí) 數(shù)學(xué) 上 題型:059

學(xué)校閱覽室有能坐4人的方桌,如果多于4人,就把方桌拼成一行,2張方桌拼成一行能坐6人(如圖)

(1)按照這種規(guī)定填寫下表:

(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),將s作為縱坐標(biāo),n作為橫坐標(biāo),在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中找出相應(yīng)各點(diǎn).

(3)請(qǐng)你猜一猜上述各點(diǎn)會(huì)在某一個(gè)函數(shù)圖象上嗎?如果在某一函數(shù)圖象上,求出該函數(shù)的解析式,并利用你探求的結(jié)果,求出當(dāng)n=10時(shí),s的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年北京海淀區(qū)九年級(jí)第一學(xué)期期中測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

閱讀下面的材料:

小明在研究中心對(duì)稱問題時(shí)發(fā)現(xiàn):

如圖1,當(dāng)點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心時(shí),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)再繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),這時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.

如圖2,當(dāng)點(diǎn)、為旋轉(zhuǎn)中心時(shí),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),小明發(fā)現(xiàn)P、兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.

(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出點(diǎn)、, 小明在證明P、兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱時(shí),除了說明P、、三點(diǎn)共線之外,還需證明;

(2)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,當(dāng)、為旋轉(zhuǎn)中心時(shí),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn);點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn);點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn);點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn). 繼續(xù)如此操作若干次得到點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)為(),點(diǎn)的坐為.

 

闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在數(shù)學(xué)上,為了確定平面上點(diǎn)的位置,我們常用下面的方法:如圖甲,在平面內(nèi)畫兩條互相垂直,并且有公共原點(diǎn)O的數(shù)軸,通常一條畫成水平,叫x軸,另一條畫成鉛垂,叫y軸,這樣,我們就說在平面上建立了一個(gè)平面直角坐標(biāo)系,這是由法國(guó)數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立的,這樣我們就能確定平面上點(diǎn)的位置,例如,要確定點(diǎn)M的位置,只要作MP⊥x軸,MP⊥y軸,設(shè)垂足N,P在各自數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為x,y,則x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo),有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做M點(diǎn)的坐標(biāo),如圖甲,點(diǎn)M的坐標(biāo)記作(2,3),
(1)△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖乙,請(qǐng)把△ABC向右平移3個(gè)單位,在平面直角坐標(biāo)系中畫出平移后的△A′B′C′;
(2)請(qǐng)寫出平移后點(diǎn)A′的坐標(biāo),記作______.

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