Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，AD=6，BC=12，點E在AD邊上，且AE：ED=1：2，連接CE，點P是AB邊上的一個動點，（P不與A，B重合）過點P作PQ∥CE，交BC于Q，設(shè)BP=x，CQ=y，
（1）求cosB的值；
（2）求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）連接EQ，試探索△EQC有無可能是直角三角形？若可能，試求出x的值；若不能，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點A作AH⊥BC，易求得cosB；
（2）過點E作EF∥AB，則可得出BF=AE，EF=AB，F(xiàn)C的長，又BP=x，BQ=12-y，不難得△BPQ∽△FEC，從而得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）顯然∠ECQ≠90°，可計算出tan∠ECQ，cos∠ECQ，分為兩種情況：若∠EQC=90°，若∠QEC=90°，求出x的值即可．
解答：解：（1）過點A作AH⊥BC，則BH=3，從而cosB=．（3分）

（2）過點E作EF∥AB交BC于F點，則BF=AE=2，EF=AB=5，F(xiàn)C=10，
又BP=x，BQ=12-y，
不難得△BPQ∽△FEC，
∴，即，（6分）
∴y=-2x+12，（0＜x＜5）（8分）

（3）顯然∠ECQ≠90°，且tan∠ECQ=，CE=，cos∠ECQ=，（9分）
若∠EQC=90°，則CQ=7，即y=7，從而x=；（11分）
若∠QEC=90°，則cos∠ECQ==，即，
y=，從而x=；（（13分）
綜上，x=或x=．（14分）
點評：本題是一道綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形以及函數(shù)解析式的確定．