Question

【題目】如圖①，若直線l︰y=－2x+4交x軸于點(diǎn)A、交y軸于點(diǎn)B，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△COD．過(guò)點(diǎn)A，B，D的拋物線h︰y=ax2+bx+4．

（1）求拋物線h的表達(dá)式；

（2）若與y軸平行的直線m以1秒鐘一個(gè)單位長(zhǎng)的速度從y軸向左平移，交線段CD于點(diǎn)M、交拋物線h于點(diǎn)N，求線段MN的最大值；

（3）如圖②，點(diǎn)E為拋物線h的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線h在第二象限的上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D、B重合），連接PE，以PE為邊作圖示一側(cè)的正方形PEFG．隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變，當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，直接寫出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）、、

【解析】

（1）先由直線l的解析式得到A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即可.

（2）設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示出來(lái)，同時(shí)也可以表示出M的坐標(biāo)，而MN的長(zhǎng)度就是N點(diǎn)與M點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差，作差之后發(fā)現(xiàn)是一個(gè)關(guān)于N點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值即可.

（3）分別對(duì)頂點(diǎn)F和頂點(diǎn)G在y軸上分情況討論，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可

（1）∵直線l：交x軸于點(diǎn)A、交y軸于點(diǎn)B，

∴，.

∵將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

∴，.

設(shè)過(guò)點(diǎn)A、B、D的拋物線h的解析式為：.

將B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：，

∴，故拋物線h的解析式為；

（2）∵，，

∴直線CD的解析式為.

設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為，則M點(diǎn)坐標(biāo)為.

∴，

∴當(dāng)時(shí)，MN最大，最大值為；

（3）若G點(diǎn)在 y軸上，如圖，作PH⊥y軸于H，交拋物線對(duì)稱軸于K，

在和中，，

則，.

∵，∴.

設(shè)，

則：,.

∴，所以.

因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為：，.

若F點(diǎn)在 y軸上，如圖，作PR垂直拋物線對(duì)稱軸于R，FQ垂直拋物線對(duì)稱軸于Q，則PER≌EFQ，∴ER=FQ，

所以，，即有：

∴或（舍去）

故P點(diǎn)的坐標(biāo)為：.

綜上所述，滿足要求的P點(diǎn)的坐標(biāo)有三個(gè)，分別為：

、、．