Question

（2013•鳳陽(yáng)縣模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2．E、F分別是射線AC、CB上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF，EF與AB交于點(diǎn)G，EH⊥AB于點(diǎn)H，設(shè)AE=x，GH=y，下面能夠反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：判斷出△ABC是等腰直角三角形，然后再判斷出△AHE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AB、AH的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)B作BD∥AC交EF于點(diǎn)D，然后利用平行線分線段成比例定理分別列式

BD

AE

=

BG

AG

，

BF

FC

=

BD

EC

，再表示出BD，然后求出BG的長(zhǎng)度，最后根據(jù)GH=AB-AH-BG，代入數(shù)據(jù)整理即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)相應(yīng)的圖象解答．

解答：解：∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=

AC2+BC2

=

22+22

=2

2

，∠A=45°，
∵EH⊥AB于點(diǎn)H，
∴△AHE是等腰直角三角形，
∴AH=

2

2

AE=

2

2

x，
過(guò)點(diǎn)B作BD∥AC交EF于點(diǎn)D，
則

BD

AE

=

BG

AG

，

BF

FC

=

BD

EC

，
∴BD=

BG

AG

•AE=

BG

2 2 -BG

•x，BD=

BF

FC

•EC=

x

x+2

•（2-x），
∴

BG

2 2 -BG

•x=

x

x+2

•（2-x），
整理得，BG（x+2）=（2

2

-BG）（2-x），
解得BG=

2

-

2

2

x，
根據(jù)圖形，GH=AB-AH-BG，
=2

2

-

2

2

x-（

2

-

2

2

x），
=2

2

-

2

2

x-

2

+

2

2

x，
=

2

，
即y=

2

，是一條平行于x軸的直線．
故選C，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，主要利用了等腰直角三角的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，作輔助線利用平行線分線段成比例定理兩次表示出BD是解題的關(guān)鍵．