Question

在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點E，F(xiàn)在BC，CD邊上，BE=4，DF=5，P是線段EF上一動點（不運動至點E，F(xiàn)），過點P作PM⊥AD于M，PN⊥AB于N，設(shè)PN=x，矩形PMAN面積為S
（1）求S關(guān)于x函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；
（2）當PM，PN長是關(guān)于t的方程3t²-kt+98=0兩實根時，求EP：PF的值和k的值．

Answer 1

分析：（1）首先延長NP交CD于Q，得出△FQP∽△FCE，進而得出FQ的長，即可得出S關(guān)于x函數(shù)解析式，利用BE以及AD的長即可得出x的取值范圍；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出PM•PN=

98

3

=S，進而得出PM+PN=

k

3

，求出k的值，即可得出答案．

解答：解：（1）延長NP交CD于Q，
由題意可得出：QP∥EC，
∴△FQP∽△FCE，
∴

FQ

FC

=

QP

EC

，
∵PQ=6-x，EC=6-4=2，F(xiàn)C=8-5=3，
∴FQ=9-

3

2

x，
∴PM=DQ=5+9-

3

2

x=14-

3

2

x，
S關(guān)于x函數(shù)解析式為：
S=x（14-

3

2

x）=-

3

2

x2+14x(4＜x＜6)；

（2）由PM•PN=

98

3

=S，
則

98

3

=-

3

2

x2+14x，
即9x²-84x+196=0，
解得：x1=x2=

14

3

，
∴PN=x=

14

3

，PM=7，
而PM+PN=

k

3

，
∴k=35，
由PM=7，知FQ=2，CQ=1，
∴

PE

PF

=

CQ

FQ

=

1

2

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系等知識，根據(jù)系數(shù)的關(guān)系得出k的值是解題關(guān)鍵．