Question

（2006•湛江）已知拋物線y=ax²+bx+2與x軸相交于點A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），且x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩個實數根，點C為拋物線與y軸的交點．
（1）求a，b的值；
（2）分別求出直線AC和BC的解析式；
（3）若動直線y=m（0＜m＜2）與線段AC，BC分別相交于D，E兩點，則在x軸上是否存在點P，使得△DEP為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出方程兩根代入拋物線解析式即可；
（2）設所求的解析式為y=kx+b，用待定系數法求解；
（3）若△DEP為等腰直角三角形，應分情況進行討論，需注意應符合兩個條件：等腰，有直角．
解答：解：（1）由x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0），（1分）
把A，B兩點的坐標分別代入
y=ax²+bx+2聯立求解，
得a=-，b=．（2分）

（2）由（1）可得y=-x²+x+2，
∵當x=0時，y=2，
∴C（0，2）．
設AC：y=kx+b，把A，C兩點坐標分別代入y=kx+b，聯立求得k=2，b=2．
∴直線AC的解析式為y=2x+2．（3分）
同理可求得直線BC的解析式是y=-x+2．（4分）

（3）假設存在滿足條件的點P，并設直線y=m與y軸的交點為F（0，m）．
①當DE為腰時，分別過點D，E作DP₁⊥x軸于P₁，作EP₂⊥x軸于P₂，如圖，
則△P₁DE和△P₂ED都是等腰直角三角形，DE=DP₁=FO=EP₂=m，AB=x₂-x₁=4．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴，即．
解得m=．（6分）
∴點D的縱坐標是，
∵點D在直線AC上，
∴2x+2=，解得x=-，
∴D（-，）．
∴P₁（-，0），同理可求P₂（1，0）．（8分）

②當DE為底邊時，
過DE的中點G作GP₃⊥x軸于點P₃，如圖，

則DG=EG=GP₃=m，
由△CDE∽△CAB，
得，即，
解得m=1．（9分）
同1方法．求得D（-，1），E（，1），
∴DG=EG=GP₃=1
∴OP₃=FG=FE-EG=，
∴P₃（，0）．（11分）
結合圖形可知，P₃D²=P₃E²=2，ED²=4，
∴ED²=P₃D²+P₃E²，
∴△DEP₃是Rt△，
∴P₃（，0）也滿足條件．
綜上所述，滿足條件的點P共有3個，即P₁（-，0），P₂（1，0），P₃（，0）．（12分）
點評：本題考查的知識點較為全面：解一元二次方程，用待定系數法求函數解析式，相似的應用以及勾股定理，等腰三角形的性質等，需耐心分析，加以應用．