如圖,AB是⊙O的直徑,P為AB延長線上一點,PD切⊙O于點C,BC和AD的延長線相交于精英家教網(wǎng)點E,且AD⊥PD.
(1)求證:AB=AE;
(2)當AB:BP為何值時,△ABE為等邊三角形并說明理由.
分析:(1)本題可連接OC,通過證明OC是三角形ABE的中位線,得出OC是AE的一半,根據(jù)AB是直徑,OC是半徑,那么AB=2OC,從而得出AE=AB;
(2)要使三角形ABE是等邊三角形,就必須有一個角是60°,那么可得出∠OCB=60°,∠P=30°,因此OP=2OC,那么O、B就是AP的三等分點,AB:PB=2:1.
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:連接OC,
∵PD切⊙O于點C,
∴OC⊥PD;
又∵AD⊥PD,
∴OC∥AD;
∵O是AB的中點,
∴OC=
1
2
AE,而OC=
1
2
AB,
∴AB=AE.

(2)解:當AB:BP=2:1時,△ABE是等邊三角形.
理由如下:
由(1),知△ABE是等腰三角形,要使△ABE成為等邊三角形,
只需∠ABE=60°(或∠EAB=60°),從而∠OCB=60°,∠BCP=∠P=30°,
故PB=BC=
1
2
AB,即當AB:BP=2:1時,△ABE是等邊三角形.
點評:本題綜合考查了切線的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定等知識點.
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  1. A.
    4米
  2. B.
    6米
  3. C.
    8米
  4. D.
    10米

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