Question

如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動點（且點P不與點B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點．設AM的長為x，則x的取值范圍是________．

Answer 1

4＞x≥2.4
分析：根據勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四邊形AEPF是矩形，求出AM=EF=AP，求出AP≥4.8，即可得出答案．
解答：連接AP，
∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB²+AC²=36+64=100，BC²=100，
∴AB²+AC²=BC²，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，
∴四邊形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M為EF中點，
∴AM=EF=AP，
當AP⊥BC時，AP值最小，
此時S_△BAC=×6×8=×10×AP，
AP=4.8，
即AP的范圍是AP≥4.8，
∴2AM≥4.8，
∴AM的范圍是AM≥2.4（即x≥2.4）．
故答案為：4＞x≥2.4．
點評：本題考查了垂線段最短，三角形面積，勾股定理的逆定理，矩形的判定的應用，關鍵是求出AP的范圍和得出AM=AP．