【答案】
分析:(1)方法一:由三角形的周長公式知C
△BEG+C
△CFG=BE+CF+EF+BC,所以下一步求得線段BE、CF、EF和BC的長度即可;通過作輔助線CH構(gòu)建矩形EFCH,利用矩形的對邊相等的性質(zhì)推知CF=EH,EF=CH;然后在Rt△BHC中,利用正切三角函數(shù)定義、勾股定理求得BH=6,CH=8,則EF=CH=8,BE+CF=BH=6;
方法二:設(shè)BE=3k.在Rt△BEG中,利用勾股定理,銳角三角函數(shù)的定義求得EG=4k,BG=5k;然后利用平行四邊形ABCD的性質(zhì)推知CG=BC-BG=10-5k,在Rt△CFG中,GF=8-4k,CF=6-3k;最后由三角形的周長公式求得C
△BEG+C
△CFG=24;
(2)需要分類討論:①當(dāng)0<BE<6時,△AED與△CGD相似;②當(dāng)BE=6時,點G與點C重合,不存在△CGD與△AED相似;③當(dāng)6<BE<8時,不存在△CGD與△AED相似.
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/images0.png)
解:(1)方法一:如圖1,過點C作CH⊥AB于H,
∵C
△BEG=BE+EG+BG,C
△CFG=CF+FG+CG,
∴C
△BEG+C
△CFG=BE+CF+EF+BC;
在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,EF⊥AB,
∴∠EFC=∠BEF=90°,又CH⊥AB,
∴四邊形EFCH為矩形.
∴CF=EH,EF=CH;
在Rt△BHC中,BC=10,tan∠B=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/0.png)
,
可求得BH=6,CH=8,
∴EF=CH=8,BE+CF=BH=6.
∴C
△BEG+C
△CFG=6+8+10=24;
方法二:設(shè)BE=3k.
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/1.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/2.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/3.png)
,
∴EG=4k,BG=5k;
在平行四邊形ABCD中,∵AB∥CD,EF⊥AB,
∴∠BCF=∠B,CG=BC-BG=10-5k,∠EFC=∠BEF=90°.
∴在Rt△CFG中,GF=8-4k,CF=6-3k,
∴C
△BEG+C
△CFG=(BE+EG+BG)+(CF+FG+CG)=(3k+4k+5k)+(6-3k+8-4k+10-5k)
=24;
(2)①當(dāng)0<BE<6,即點G在線段BC上時,設(shè)BE=3k,
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/4.png)
,
∴EG=4k,BG=5k,CG=10-5k,CD=AB=8.
∵∠A=∠DCG,
∴要使△AED與△CGD相似,需滿足
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/5.png)
或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/6.png)
.
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/7.png)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/8.png)
,
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/9.png)
,
此時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/10.png)
,滿足0<BE<6.
當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/11.png)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/12.png)
,
解得k
1=0或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/13.png)
…(8分)
此時,BE=0或14,不滿足0<BE<6;
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/images15.png)
∴當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/14.png)
時,△AED與△CGD相似.
②當(dāng)BE=6,即點G與點C重合時,不存在△CGD與△AED相似.
③當(dāng)6<BE<8,即點G在射線BC上時,如圖2,
∵AB∥CD,AD∥BC,∠B是銳角
∴∠A是鈍角,
又∵∠DCG=∠B,
∴∠DCG也是銳角,
∴∠A≠∠DCG.
∵∠DCB>∠CDG,∠DCB>∠DGC,
又∵∠A=∠DCB
∴∠A≠∠CDG,且∠A≠∠DGC,
∴當(dāng)6<BE<8時,不存在△CGD與△AED相似.
綜上所述,當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101190550464123850/SYS201311011905504641238024_DA/15.png)
時,△AED與△CGD相似.
點評:本題考查了相似綜合題.此題涉及到的知識點有平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義.解答(2)時,要分類討論,以防漏解.