Question

（2010•花都區(qū)一模）如圖，點P在⊙O的直徑AB的延長線上，PC切⊙O于點C，∠P=30°，連接AC，BC．
（1）求證：2PB=AB．
（2）若AC=4cm，求⊙O的半徑r．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由于PC與⊙O相切，那么△PCO為直角三角形，根據(jù)∠P的度數(shù)，即可得OP=2OC，即BP=OC，由此可得BP等于⊙O的半徑，而AB是⊙O的直徑，即可得證．
（2）易知∠ABC=2∠P=60°，在Rt△ABC中，通過解直角三角形即可得AB的長，進而可求得⊙O的半徑．
解答：（1）證明：連接OC，（2分）
∵PC切⊙O于點C，
∴PC⊥OC，（3分）
又∠P=30°，∴，（5分）
∴2PB=2OB=AB．（6分）

（2）解：在Rt△POC中，由（1）可知∠POC=60°，又OB=OC，（7分）
∴△OBC是正三角形，∴∠ABC=60°；（8分）
∵AB是⊙O的直徑，∴△ABC是直角三角形；（9分）
∴，（10分）
即，解得AB=8；（11分）
∴⊙O的半徑．（12分）
點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及解直角三角形的相關(guān)知識，難度不大．