Question

已知：如圖，DABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連結(jié)AD．

  （1）求證：AP=PD；

（2）請(qǐng)判斷A，D，F(xiàn)三點(diǎn)是否在以P為圓心，以PD為半徑的圓上？并說(shuō)明理由；

（3）連接CD，若CD﹦3，BD ﹦4，求⊙O的半徑和DE的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）利用等弧對(duì)等弦即可證明．

（2）利用等弧所對(duì)的圓周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代換得出∠DBE=∠DEB，從而證明DB=DE=DC，所以B，E，C三點(diǎn)在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．

（3）利用等弧所對(duì)的弦相等，得出AD的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理得出AB的長(zhǎng)度，然后得出園的半徑，再根據(jù)相似直角三角形對(duì)應(yīng)對(duì)成比例竿出DE的長(zhǎng)度.

解：(1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA  

∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對(duì)的圓周角，∴∠DAC＝∠CBD 

∴∠DAC ＝∠DBA        ∵AB為直徑，    ∴∠ADB＝90° 

又∵DE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠DEB＝90° 

∴∠ADE +∠EDB＝∠ABD +∠EDB＝90°

∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP 

∴PD＝PA     ………………………………………………4分

(2）A，D，F(xiàn)三點(diǎn)在以P為圓心，以PD為半徑的圓上

∵∠DFA +∠DAC＝∠ADE +∠PD F＝90°且∠ADE＝∠DAC

∴∠PDF＝∠PFD                    

∴PD＝PF   ∴PA＝PD= PF 

即  A，D，F(xiàn)三點(diǎn)在以P為圓心，以PD為半徑的圓上…………….8分

（3）⊙O的半徑是2.5；DE的長(zhǎng)是2.4

考點(diǎn)：確定圓的條件；圓心角、弧、弦的關(guān)系；勾股定理．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等弧對(duì)等弦，及確定一個(gè)圓的條件，此類(lèi)題是中考的�？碱}，需要同學(xué)們牢固掌握．