Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)O(0，0)、A(4，0)、B(3，－)三點(diǎn)．

(1)求此拋物線的解析式；

(2)以O(shè)A的中點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑作⊙M，在(1)中的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作⊙M的切線l，且l與x軸的夾角為30°，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(注意：本題中的結(jié)果可保留根號(hào))

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)拋物線的解析式為： 　　由題意得：　　1分 　　解得：　　2分 　　∴拋物線的解析式為：　　3分 　　(2)存在　　4分 　　拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，作拋物線和⊙M(如圖)， 設(shè)滿(mǎn)足條件的切線l與x軸交于點(diǎn)B，與⊙M相切于點(diǎn)C 　　連接MC，過(guò)C作CD⊥x軸于D 　　∵M(jìn)C＝OM＝2，∠CBM＝30°，CM⊥BC 　　∴∠BCM＝90°，∠BMC＝60°，BM＝2CM＝4，∴B(－2，0) 　　在Rt△CDM中，∠DCM＝∠CDM－∠CMD＝30° 　　∴DM＝1，CD＝＝　∴C(1，) 　　設(shè)切線l的解析式為：，點(diǎn)B、C在l上，可得： 　　　解得： 　　∴切線BC的解析式為： 　　∵點(diǎn)P為拋物線與切線的交點(diǎn) 　　由　解得：　 　　∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，　　8分 　　∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線 　　此拋物線、⊙M都與直線成軸對(duì)稱(chēng)圖形 　　于是作切線l關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)直線(如圖) 　　得到B、C關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B1、C1 　　滿(mǎn)足題中要求，由對(duì)稱(chēng)性，得到P1、P2關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)： 　　，即為所求的點(diǎn)． 　　∴這樣的點(diǎn)P共有4個(gè)：，，，　　12分 　　(本題其它解法參照此標(biāo)準(zhǔn)給分)