Question

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，以AB上一點(diǎn)O為圓心，AD為弦作⊙O．
（1）在圖中作出⊙O；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
（2）求證：BC是⊙O切線(xiàn)；
（3）若AC=3，AB=5，求⊙O的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）如圖，作AD的中垂線(xiàn)l，直線(xiàn)l與線(xiàn)段AB的交點(diǎn)即為圓心O．以O(shè)A為半徑、O為圓心作圓O．
（2）連接OD．欲證BC是⊙O切線(xiàn)，只需證明OD⊥BC即可．
（3）設(shè)圓O的半徑為r．通過(guò)∠B的正弦的定義來(lái)求⊙O的半徑．

解答：解：（1）如圖所示．

（2）連接OD；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC；
又∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°．
又OD是⊙O的半徑，
∴BC為⊙O的切線(xiàn)．

（3）設(shè)圓O的半徑為r．
∵AC=3，AB=5，
∴sinB=

AC

AB

=

OD

OB

=

r

AB-r

，即

3

5

=

r

5-r

，
解得r=

15

8

，即⊙O的半徑長(zhǎng)是

15

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的運(yùn)用基本作圖的知識(shí)作復(fù)雜圖的能力，以及切線(xiàn)的判定等知識(shí)點(diǎn)．本題中作圖的理論依據(jù)是垂徑定理．