解:(1)CD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
PB.
理由:過點P分別作PH⊥AC于點H,PF⊥BC于點F,
∴∠PHC=∠PFC=90°,
∵∠BCA=90°,
∴四邊形PFCE是矩形,
∴CH=PF,
∵PD=PC,
∴CH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
CD,
在Rt△PBF中,tanB=1,
∴PF=BF,
∴PF=PB•sin45°=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
PB,
∴CD=2CH=2PF=2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
PB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
PB;
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201310/528567d2e7124.png)
(2)證明:過點P分別作PH⊥AC于點H,PF⊥BC于點F,
∴∠PHC=∠PFC=90°,
∵∠BCA=90°,
∴四邊形PFCE是矩形,
∴CH=PF,
∵PD=PC,
∴CH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
CD,
在Rt△PBF中,tanB=2,
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/58129.png)
=2,
∴PF=2BF,
由勾股定理得:BP=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
BF,PF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1285.png)
BP,
∴CH=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1285.png)
BP,CD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33845.png)
BP,
在Rt△ABC中,tanB=2,
同理可得:AC=2BC,
∵AC=AD+CD,
∴2BC=AD+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33845.png)
BP;
(3)連接BE,
∵點B關(guān)于直線CP的對稱點為E,
∴CP是線段BE的垂直平分線,
∴CE=CB,PE=PB,
∴∠BCP=∠ECP=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
∠ACB=45°,
過點P作PF⊥BC于點F,
設(shè)PB=a,
由(2)得:2BC=AD+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33845.png)
BP,
則BC=1+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1285.png)
a,
在Rt△CPF中,∠FCP=45°,PF=CF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1285.png)
a,
而BF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/327.png)
BP=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/327.png)
a,
由CF+BF=BC得,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1285.png)
a+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/327.png)
a=1+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1285.png)
a,
解得:a=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
,
即BP=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
,
∴BC=3,AC=2BC=6,AB=3
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
,AP=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
,CD=4,DE=1,EA=3,
∴BD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/399067.png)
=5,
過點D作AB的平行線分別交EP于點Q,交CP于點R,
由△EDQ∽△EAP,得ED:EA=DQ:AP=1:3,得DQ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/10191.png)
,
由△QDM∽△PBM,得DM:BM=QD:PB=2:3,得DM=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/335.png)
BD=2,
由△CDR∽△CAP,得DR:AP=CD:CA=4:6,得DR=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/91044.png)
,
由△NDR∽△NBP,得DN:BN=DR:PB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/91044.png)
:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
,得DN=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4458.png)
BD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6482.png)
,
∴NM=DN-DM=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6482.png)
-2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/9777.png)
.
分析:(1)首先過點P分別作PH⊥AC于點H,PF⊥BC于點F,又由在△ABC中,∠ACB=90°,易得四邊形PFCE是矩形,即可得CH=PF,又由tanB=1,可得∠B=45°,PF=BF,由三角函數(shù)可求得PF═
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
PB,由PC=PD,根據(jù)三線合一的性質(zhì),可得CD=2CH=2PF,即可求得答案;
(2)證明方法同(1),首先可得四邊形PFCE是矩形,CH=PF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
CD,然后由勾股定理得:BP=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
BF,PF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1285.png)
BP,即可求得答案;
(3)據(jù)題意可得CP是線段BE的垂直平分線,即可得CE=CB,PE=PB,則可求得∠BCP=∠ECP=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
∠ACB=45°,然后利用勾股定理,借助于方程求解即可BC=3,AC=2BC=6,AB=3
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
,AP=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/559.png)
,CD=4,DE=1,EA=3,然后過點D作AB的平行線分別交EP于點Q,交CP于點R,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可求得答案.
點評:此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識.此題綜合性很強,難度很大,注意輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.