Question

【題目】在小學(xué)，我們已經(jīng)初步了解到，正方形的每個(gè)角都是90°，每條邊都相等．如圖，在正方形ABCD外側(cè)作直線AQ，且∠QAD=30°，點(diǎn)D關(guān)于直線AQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，連接DE、BE，DE交AQ于點(diǎn)G，BE交AQ于點(diǎn)F．

（1）求∠ABE的度數(shù)；

（2）若AB=6，求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）3

【解析】

試題分析：（1）連接AE，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得出∠EAQ=∠QAD=30°，由正方形的性質(zhì)得出∠BAD=90°，AB=AD，得出AE=AB，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果；

（2）證出△AED是等邊三角形，得出ED=6，由線段垂直平分線得出EG=3，∠FGE=90°，證出∠EFG=∠FEG=45°，得出EG=FG=3即可．

解：（1）連接AE，如圖1所示：

∵點(diǎn)D關(guān)于直線AQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，

∴AE=AD，AQ垂直平分DE，

∴∠EAQ=∠QAD=30°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，AB=AD，

∴AE=AB，

∴∠BAE=30°+30°+90°=150°，

∴∠ABE=（180°﹣150°）=15°；

（2）由（1）得：AE=AD，∠EAD=60°，

∴△AED是等邊三角形，ED=6，

∵AQ垂直平分DE，

∴EG=3，∠FGE=90°，

∵∠EAD=30°，∠AEB=15°，

∴∠EFG=∠FEG=45°，

∴EG=FG=3．