Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A（0，3），C（-1，0）．將矩形OABC繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OA′B′C′．設(shè)直線BB′與x軸交于點M、與y軸交于點N，拋物線經(jīng)過點C、M、N．解答下列問題：
（1）求直線BB′的函數(shù)解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上求出使的所有點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)四邊形OABC是矩形可知B（-1，3）．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得B′（3，1）．
把B（-1，3），B′（3，1）代入y=mx+n中，利用待定系數(shù)法可解得y=-．
（2）由（1）得，N（0，），M（5，0）．設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，把C（-1，0），M（5，0），N（0，）代入得，利用待定系數(shù)法解得二次函數(shù)解析式為y=x²+2x+．
（3）根據(jù)矩形的面積公式可知S_矩形OABC=3×1=3，則．易求得拋物線的頂點坐標為（2，），P的縱坐標是-8．當y=-8時代入二次函數(shù)解析式得-8=x²+2x+，即x²-4x-21=0．解得x₁=-3，x₂=7．則P₁（-3，-8），P₂（7，-8）．所以滿足條件的點P的坐標是（-3，-8）和（7，-8）．
解答：解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴B（-1，3）（1分）
根據(jù)題意，得B′（3，1）（2分）
把B（-1，3），B′（3，1）代入y=mx+n中，，
解得，
∴y=-；（3分）

（2）由（1）得，N（0，），M（5，0），（4分）
設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，把C（-1，0），M（5，0），N（0，）代入得
，
解得，
∴二次函數(shù)解析式為y=x²+2x+；（5分）

（3）∵S_矩形OABC=3×1=3，
∴，
又∵B′C′=3，
∵B′（3，1），
∴點P到B′C′的距離為9，則P點的縱坐標為10或-8．
∵拋物線的頂點坐標為（2，），
∴P的縱坐標是10，不符合題意，舍去，
∴P的縱坐標是-8，（6分）
當y=-8時，-8=x²+2x+，
即x²-4x-21=0，
解得x₁=-3，x₂=7，
∴P₁（-3，-8），P₂（7，-8），（7分）
∴滿足條件的點P的坐標是（-3，-8）和（7，-8）．（7分）
點評：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和函數(shù)圖象上點的意義，矩形的性質(zhì)與面積，函數(shù)和方程之間的關(guān)系等．要熟練掌握才能靈活運用．