Question

【題目】已知四邊形ABCD為矩形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AD＝AO．點(diǎn)E、F為矩形邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠EOF＝60°．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、F分別位于AB、AD邊上時(shí)，若∠OEB＝75°，求證：DF＝AE；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、F同時(shí)位于AB邊上時(shí)，若∠OFB＝75°，試說明AF與BE的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E、F同時(shí)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，將△OEF沿OE所在直線翻折至△OEP，取線段CB的中點(diǎn)Q．連接PQ，若AD＝2a（a＞0），則當(dāng)PQ最短時(shí)，求PF之長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AF＝2BE，見解析；（3）a

【解析】

（1）如圖1中，在OD上取一點(diǎn)K，使得OK＝OE，連接DK．想辦法證明DK＝AE，DF＝DK即可解決問題．

（2）如圖2中，將△OAF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△OBJ，連接JE．想辦法證明∠JEB＝90°，∠EJB＝30°可得結(jié)論．

（3）如圖3中，連接BP．證明△OAF≌△OBP（SAS），推出∠PBC＝30°，如圖3﹣1中，當(dāng)QP⊥PB時(shí)，PQ的值最小，作FH⊥OA于H，OM⊥PF于M．解直角三角形求出FM即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，在OD上取一點(diǎn)K，使得OK＝OE，連接DK．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OD＝OA，∠DAB＝90°，

∵AD＝AO，

∴AD＝AO＝OD，

∴△OAD是等邊三角形，

∴∠DOA＝∠EOF＝∠DAO＝∠ADO＝60°，

∴∠DOK＝∠AOE，∠OAE＝90°﹣60°＝30°，

∵OD＝OA，OK＝OE，

∴△DOK≌△AOE（SAS），

∴DK＝AE，∠ODK＝∠OAE＝30°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝30°，

∵∠OEB＝75°，

∴∠OEB＝∠BOE＝75°，

∵∠EOF＝60°，

∴∠DOK＝180°﹣75°﹣60°＝45°，

∴∠DFO＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∠DKO＝∠ODK+∠DOK＝75°，

∴∠DFK＝∠DKF＝75°，

∴DF＝DK，

∴DF＝AE．

（2）解：結(jié)論：AF＝2BE．

理由：如圖2中，將△OAF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△OBJ，連接JE．

∵∠AOB＝120°，∠EOF＝60°，

∴∠BOJ+∠BOE＝∠AOF+∠BOE＝60°，

∴∠EOJ＝∠EOF，

∵OF＝OJ，OE＝OE，

∴△EOF≌△EOJ（SAS），

∴∠OEF＝∠OEJ，

∵∠OFB＝75°，∠OBF＝30°，

∴∠BOF＝75°，

∴∠BOE＝75°﹣60°＝15°，

∴∠FEO＝∠BOE+∠OBE＝45°，

∴∠OEF＝∠OEJ＝45°，

∴∠JEB＝∠JEF＝90°，

∵∠OBJ＝∠OAF＝30°，∠OBE＝30°，

∴∠EBJ＝60°，

∴∠EJB＝90°﹣60°＝30°，

∴BJ＝2BE，

∵AF＝BJ，

∴AF＝2BE．

（3）解：如圖3中，連接BP．

由翻折可知：OE＝OP，∠EOF＝∠EOP＝60°，

∴∠FOP＝∠AOB＝120°，

∴∠AOF＝∠BOP，

∵OA＝OB，

∴△OAF≌△OBP（SAS），

∴∠OBP＝∠OAF＝30°，AF＝BP，

∵∠OBC＝60°，

∴∠PBC＝30°，

如圖3﹣1中，當(dāng)QP⊥PB時(shí)，PQ的值最小，作FH⊥OA于H，OM⊥PF于M．

在Rt△PQB中，∵∠QPB＝90°，∠PBQ＝30°，BQ＝BC＝AD＝a，

∴PB＝AF＝BQcos30°＝a，

在Rt△AFH中，則有AH＝AFcos30°＝a，FH＝AF＝，

∴OH＝OA﹣AH＝2a﹣a＝，

∴OF＝，

∵OF＝OP，OM⊥PF，

∴FM＝MP＝OFcos30°＝，

∴FP＝2FM＝a．