Question

【題目】如圖，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，與關(guān)于所在直線對(duì)稱，點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交所在直線于點(diǎn)，連接.當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為__________．

Answer 1

【答案】4或

【解析】

當(dāng)△A'EF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：①當(dāng)∠A′EF=90°時(shí)，如圖1，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和平行線可得：A′C=A′E=4，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：BC=2A′B=8，最后利用勾股定理可得AB的長(zhǎng)；

當(dāng)∠A′FE=90°時(shí)，如圖2，證明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．

當(dāng)△A'EF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：①當(dāng)∠A′EF=90°時(shí)，如圖1，

∵△A'BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，

∴A′C=AC=4，∠ACB=∠A′CB，

∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，

∴D、E是△ABC的中位線，

∴DE//AB，

∴∠CDE=∠MAN=90°，

∴∠CDE=∠A′EF，

∴AC//A′E，

∴∠ACB=∠A′EC，

∴∠A′CB=∠A′EC，

∴A′C=A′E=4，

Rt△A′CB中，∵E是斜邊BC的中點(diǎn)，

∴BC=2A′E=8，

由勾股定理得：AB2=BC2AC2，

∴AB==；

②當(dāng)∠A′FE=90°時(shí)，如圖2，

∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，

∴∠ABF=90°，

∵△A'BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，

∴∠ABC=∠CBA′=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC=4；

綜上所述，AB的長(zhǎng)為或4；

故答案為：或4.