Question

如圖，直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，且A(3

3

，0)，∠OAB=30°，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止，點(diǎn)Q沿線段OA運(yùn)動(dòng)，速度為每秒

3

個(gè)單位長度，點(diǎn)P沿路線O→B→A運(yùn)動(dòng)．
（1）求直線l的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），△OPQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在（2）中，若t＞1時(shí)有S=

3 3

2

，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)O、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）通過解Rt△AOB可以求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，借用方程組來求直線l的解析式；
（2）因?yàn)镺A=3

3

，OB=3，利用勾股定理可得AB=6，進(jìn)而可求出點(diǎn)Q由O到A的時(shí)間是3秒，點(diǎn)P的速度是3，從而可求出，當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)（或0≤t≤1）時(shí)，OQ=t，OP=3t，S=

3

2

t²，當(dāng)P在線段BA上運(yùn)動(dòng)（或1≤t≤3）時(shí)，OQ=t，AP=9-3t，作PD⊥OA于點(diǎn)D，由相似三角形的性質(zhì)，得PD的值，利用S=

1

2

OQ×PD，即可求出答案；
（3）令S=

3 3

2

，求出t的值，進(jìn)而求出OD、PD，即可求出P的坐標(biāo)，利用平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，結(jié)合簡單的計(jì)算即可寫出M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖，∵A(3

3

，0)，∠OAB=30°，
∴OA=3

3

，OB=OAtan30°=3

3

×

3

3

=3．
∴B（0，3）．
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），則

3 3 k+b=0 b=3

，
解得

k=- 3 3 b=3

，
∴直線l的解析式為：y=-

3

3

x+3；

（2）∵OB=3，∠OAB=30°，
∴AB=2OB=6．
∵點(diǎn)Q由O到A的時(shí)間是

3 3

3

=3（秒），
∴點(diǎn)P的速度是

3+6

3

=3（單位長度/秒）．
①當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)（或O≤t≤1）時(shí)，
OQ=t，OP=3t，S=

3

2

t²；
②當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)（1≤t≤3）時(shí)，
OQ=t，AP=9-3t．
如圖，過點(diǎn)P作PD⊥OA于點(diǎn)D，則PD∥OB，
∴△APD∽△ABO，
∴

PD

BO

=

AP

AB

，即

PD

3

=

9-3t

6

，
∴PD=

9-3t

2

．
∴S=

1

2

OQ•PD=-

3

4

t²+

9

4

t．
綜上所述：S=

3 2 t2(0≤t≤1) - 3 4 t2+ 9 4 t(1≤t≤3)

；

（3）∵當(dāng)t＞1時(shí)，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)S=

3 3

2

時(shí)，

3 3

2

=-

3

4

t²+

9

4

t，
即t²-3t+2

3

=0．
∵△=9-8

3

＜0，
∴該方程無解，即不催在這樣的點(diǎn)P．
∴也不存在符合條件的點(diǎn)M．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．解題時(shí)，需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖象，利用函數(shù)解析式即可解決問題．