Question

兩個(gè)全等的三角形ABC和DEF重疊在一起，△ABC的面積為3，且AB=CB，固定△ABC不動(dòng)，將△DEF進(jìn)行如下操作：
（1）如圖①，△DEF沿線段AB向右平移（即D點(diǎn)在線段AB內(nèi)移動(dòng)），連接DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷地變化，但它的面積不變化，請(qǐng)求出其面積；
（2）如圖②，當(dāng)D點(diǎn)B向右平移到B點(diǎn)時(shí)，試判斷CE與BF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，若∠AEC=15°，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)H，
由平移的性質(zhì)可得：CF=AD，CF∥AB，
∴S_{四邊形CDBF}=

1

2

（CF+BD）?CH=

1

2

（AD+BD）?CH=

1

2

AB?CH，
∵S_△ABC=

1

2

AB?CH=3，
∴S_{四邊形CDBF}=3；

（2）CE⊥BF．
理由：由平移的性質(zhì)可得：BE=CF，BE∥CF，
∴四邊形CBEF是平行四邊形，
∵AB=CB，AB=BE，
∴CB=BE，
∴?CBEF是菱形，
∴CE⊥BF；

（3）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，
∵CB=BE，∠AEC=15°，
∴∠BCE=∠AEC=15°，
∴∠ABC=∠AEC+∠BCE=30°，
∴在Rt△BCG中，CG=

1

2

CB，
∵AB=CB，
∴CG=

1

2

AB，
∴S_△ABC=

1

2

AB?CG=

1

4

AB²=3，
解得：AB=2

3

．