Question

（2011•黔東南州）矩形OABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（10，0）、C（0，3），直線y=

1

3

x與BC相交于點(diǎn)D，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過A、D兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AD，試判斷△OAD的形狀，并說明理由．
（3）若點(diǎn)P是拋物線的對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，對稱軸與OD、x軸分別交于點(diǎn)M、N，問：是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAD相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3，代入直線解析式可得出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，從而將點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可得出拋物線的解析式．
（2）分別求出OA、OD、AD的長度，繼而根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷出△OAD是直角三角形．
（3）①由圖形可得當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)N重合時(shí)能滿足△OPM∽△ODA，②過點(diǎn)O作OD的垂線交對稱軸于點(diǎn)P′，此時(shí)也可滿足△P′OM∽△ODA，利用相似的性質(zhì)分別得出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）由題意得，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3，
∵點(diǎn)D在直線y=

1

3

x上，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（9，3），
將點(diǎn)D（9，3）、點(diǎn)A（10，0）代入拋物線可得：

81a+9b=3 100a+10b=0

，
解得：

a=- 1 3 b= 10 3

，
故拋物線的解析式為：y=-

1

3

x²+

10

3

x．

（2）∵點(diǎn)D坐標(biāo)為（9，3），點(diǎn)A坐標(biāo)為（10，0），
∴OA=10，OD=

92+32

=3

10

，AD=

(10-9)2+(0-3)2

=

10

，
從而可得OA²=OD²+AD²，
故可判斷△OAD是直角三角形．

（3）①由圖形可得當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)N重合時(shí)能滿足△OPM∽△ODA，

此時(shí)∠POM=∠DOA，∠OPM=∠ODA，
故可得△OPM∽△ODA，OP=

1

2

OA=5，
即可得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）．
②過點(diǎn)O作OD的垂線交對稱軸于點(diǎn)P′，此時(shí)也可滿足△P′OM∽△ODA，

由題意可得，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5，代入直線方程可得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為

5

3

，
故可求得OM=

5 10

3

，
∵∠OP′M+∠OMN=∠DOA+∠OMN=90°，
∴∠OP′M=∠DOA，
∴△P′OM∽△ODA，
故可得

P′M

OA

=

OM

AD

，即

MP′

10

=

5 10 3

10

，
解得：MP′=

50

3

，
又∵M(jìn)N=點(diǎn)M的縱坐標(biāo)=

5

3

，
∴P′N=

50

3

-

5

3

=15，
即可得此時(shí)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（5，-15）．
綜上可得存在這樣的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）或（5，-15）．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合直線解析式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，得出拋物線的解析式，在第三問的解答中要分類討論，不要漏解．