Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與直線y=mx+n相交于兩點，這兩點的坐標(biāo)分別是（0，-）和（m-b，m²-mb+n），其中 a，b，c，m，n為實數(shù)，且a，m不為0．
（1）求c的值；
（2）設(shè)拋物線y=ax²+bx+c與x軸的兩個交點是（x₁，0）和（x₂，0），求x₁?x₂的值；
（3）當(dāng)-1≤x≤1時，設(shè)拋物線y=ax²+bx+c上與x軸距離最大的點為P（x，y），求這時|y丨的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點（0，-）代入拋物線可以求出c的值．
（2）把點（0，-）代入直線得n=-，然后把點（m-b，m²-mb+n）代入拋物線，整理后可確定a的值，把a，c的值代入拋物線，當(dāng)y=0時可以求出x₁•x₂的值．
（3）拋物線y=x²+bx-的頂點（-，--），當(dāng)-≤-1時，當(dāng)-1≤-≤0時，當(dāng)0＜-≤1，當(dāng)1＜-時，確定|y|的最值．
解答：解：（1）把點（0，-）代入拋物線，得：c=-；

（2）把點（0，-）代入直線得：n=-．
把點（m-b，m²-mb+n）代入拋物線，得：
a（m-b）²+b（m-b）+c=m²-mb+n
∵c=n=-，
∴a（m-b）²+b（m-b）=m²-mb，
am²-2abm+ab²+bm-b²-m²+mb=0
（a-1）m²-（a-1）•2bm+（a-1）b²=0
（a-1）（m²-2bm+b²）=0
（a-1）（m-b）²=0
∴a=1，
當(dāng)m-b=0時，拋物線與直線的兩個交點就是一個點，所以m≠b．
把a=1，c=-代入拋物線有：
y=x²+bx-，
當(dāng)y=0時，x²+bx-=0，
∴x₁•x₂=-；

（3）y=x²+bx-，頂點（-，--）
①當(dāng)-＜-1時，即b＞2時，在x軸上方與x軸距離最大值的點是（1，y），
∴|H|=y=+b＞，
在x軸下方與x軸距離最大值的點是（-1，y），
∴|h|=|y|=|-b|=b-＞，
∴|H|＞|h|，
∴這時|y|的最小值大于，
②當(dāng)-1≤-≤0時，即0≤b≤2時，在x軸上方與x軸距離最大值的點是（1，y），
∴|H|=y=+b≥，當(dāng)b=0時等號成立，
在x軸下方與x軸距離最大值的點是（-，--），
∴|h|=|--|=≥，
當(dāng)b=0時等號成立，
∴這是|y|的最小值等于，
③當(dāng)0＜-≤1，即-2≤b＜0時，
在x軸上方與x軸距離最大值的點是（-1，y），
∴|H|=y=|1+（-1）b-|=|-b|=-b＞，
在x軸下方與x軸距離最大值的點是（-，--），
∴|h|=|y|=|--|=＞，
∴當(dāng)這時，|y|的最小值大于．

④當(dāng)1＜-時，即b＜-2時，在x軸上方與x軸距離最大值的點是（-1，y），
∴|H|=-b＞，
在x軸下方與x軸距離最大值的點是（1，y），
∴|h|=|+b|=-（b+）＞，
∴|H|＞|h|，
∴這時|y|的最小值大于，
綜上所述：當(dāng)b=0，x=0時，這時|y|取最小值為．
點評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，
（1）根據(jù)拋物線上的點確定c的值．
（2）結(jié)合一元二次方程的解確定x₁•x₂的值．
（3）在x的取值范圍內(nèi)確定|y|的最小值．