Question

【題目】在等腰直角三角形中，，．點(diǎn)為射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)在直線上，且．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，且，連接．請(qǐng)用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)．對(duì)線段，，的長(zhǎng)度之間的關(guān)系進(jìn)行了探究．下面是小明的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

（1）對(duì)于點(diǎn)在射線上的不同位置，畫(huà)圖、測(cè)量，得到了線段，，的長(zhǎng)度的幾組值，如下表：

	位置 1	位置 2	位置 3	位置 4	位置 5	位置 6	位置 7	位置 8
	2.83	2.83	2.83	2.83	2.83	2.83	2.83	2.83
	2.10	1.32	0.53	0.00	1.32	2.10	4.37	5.6
	0.52	1.07	1.63	2.00	2.92	3.48	5.09	5.97

在，，的長(zhǎng)度這三個(gè)量中，確定 的長(zhǎng)度是自變量， 的長(zhǎng)度是這個(gè)自變量的函數(shù)， 的長(zhǎng)度是常量．

（2）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：請(qǐng)用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）詳見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）按照變量的定義，根據(jù)題意點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，BE的長(zhǎng)隨著點(diǎn)P的移動(dòng)而改變，BC為已知等腰直角三角形的斜邊；

（2）描點(diǎn)畫(huà)出圖象即可；

（3）根據(jù)圖形可求出長(zhǎng)度根據(jù)長(zhǎng)度變化的函數(shù)關(guān)系式為一次函數(shù)，發(fā)現(xiàn)斜率絕對(duì)值接近，再通過(guò)畫(huà)圖可證明三條線段關(guān)系．

（1）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，再結(jié)合表格數(shù)據(jù)可知，的長(zhǎng)度是自變量，的長(zhǎng)度是這個(gè)自變量的函數(shù)，的長(zhǎng)度是常量．

故答案為：，，．

（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點(diǎn)畫(huà)出以下圖像

（3）首先通過(guò)函數(shù)圖像圖像，可判斷BE關(guān)于BP的函數(shù)圖像氛圍兩部分，斜率接近，則可知線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．

再通過(guò)畫(huà)圖證明：

當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF垂直于AC交BC的延長(zhǎng)線于F，

∵為等腰直角三角形，，，

∴，

又∵，

∴，

∴為等腰直角三角形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴（），

∴，

在等腰直角三角形中，

∴，

即，；

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)，

同理可證（），

∴，

∴，

又∵為等腰直角三角形，

∴，

∴

綜上：線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為：．