Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸負半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，且OA=OB．
（1）求b+c的值；
（2）若點C在拋物線上，且四邊形OABC是平行四邊形，試求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，作∠OBC的角平分線，與拋物線交于點P，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知得到B（0，c），A（-c，0），把A的坐標代入解析式即可求出答案；
（2）由平行四邊形OABC得到BC=AO=c，點B的坐標為（0，c），根據(jù)平行四邊形的性質得到C的坐標，把C的坐標代入解析式和b+c=1組成方程組，即可求出b、c的值，即得到拋物線的解析式；
（3）過點P作PM⊥y軸，PN⊥BC，垂足分別為M、N，根據(jù)角平分線的性質得到PM=PN，設點P的坐標為，代入解析式即可求出P的坐標．
解答：解：（1）由題意得：點B的坐標為（0，c），其中c＞0，OB=c，
∵OA=OB，點A在x軸的負半軸上，
∴點A的坐標為（-c，0），
∵點A在拋物線y=-x²+bx+c上，
∴0=-c²-bc+c，
∵c＞0，
∴兩邊都除以c得：0=-c-b+1，
b+c=1，
答：b+c的值是1．

（2）解：∵四邊形OABC是平行四邊形
∴BC=AO=c，
又∵BC∥x軸，點B的坐標為（0，c）
∴點C的坐標為（c，c），
又點C在拋物線上，
∴c=-c²+bc+c
∴b-c=0或c=0（舍去），
又由（1）知：b+c=1，
∴，，
∴拋物線的解析式為，
答：拋物線的解析式是y=-x²+x+．

（3）解：過點P作PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別為M、N，PM交BC的延長線于H，

∵由（2）知BC∥x軸，PM⊥x軸，
∴PH⊥BC，
∵BP平分∠OBC，PN⊥BO，PH⊥BC，
∴PN=PH，
設點P的坐標為，
∴PN=x，ON=PM=-（-x²+x+）
∴BN=BO+ON=-（-x²+x+），PN=x，
∴BN=PN，即，
解得：或x=0，
當x=時，-x²+x+=-1，
∴點P的坐標為（1.5，-1），
當x=0時，-x²+x+=，、
∴點P的坐標為（0，），此時P和B重合，舍去，
答：點P的坐標是（1.5，-1）．
點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)上點的坐標特征，平行四邊形的性質，角平分線的性質，解一元二次方程等知識點，能運用題中隱含的條件求二次函數(shù)的解析式是解此題的關鍵，此題是一個綜合性比較強的題目，有一定的難度，但題型較好．