Question

某校要用地磚鑲嵌藝術(shù)教室的地面，可以選擇的方案有許多種，請(qǐng)你為其設(shè)計(jì)．
（1）如果在以下形狀的地磚中選取一種鑲嵌地面，可以選擇的有______．（填序號(hào)）　
①正方形 ②正五邊形 ③正六邊形 ④正八邊形 ⑤任意三角形 ⑥任意四邊形
（2）如果在正三角形、正方形、正八邊形這三種形狀的地磚中，任意選取其中的兩種，有幾種可行的方案？
（3）如果在正三角形、正六邊形、正方形、正十二邊形這四種形狀的地磚中，任意選取其中三種，有幾種可行的方案？

Answer 1

解：（1）①正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°，4個(gè)能組成鑲嵌；
②正五邊形每個(gè)內(nèi)角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密鋪；
③正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°，能整除360°，3個(gè)能組成鑲嵌；
④正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能密鋪．
⑤任意三角形 ⑥任意四邊形都可以鑲嵌平面，

（2）只有正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，能密鋪．
正八邊形的每個(gè)內(nèi)角是135°，正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°，∵2×135°+90°=360°，能密鋪．
故共有兩種可行的方案；

（3）由題意可得出：
正三角形、正四邊形，正十二邊形可以鑲嵌地面； 正四邊形，正六邊形，正十二邊形可以鑲嵌地面；故有2種可行的方案．
故答案為：①③⑤⑥．
分析：（1）由鑲嵌的條件知，判斷一種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看正多邊形的內(nèi)角度數(shù)是否能整除360°，能整除的可以平面鑲嵌，反之則不能．
（2）分別求出各個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，結(jié)合鑲嵌的條件，分別計(jì)算即可求出答案．
（3）分別求出各個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，結(jié)合鑲嵌的條件，分別計(jì)算即可求出答案．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平面鑲嵌，用一種正多邊形的鑲嵌應(yīng)符合一個(gè)內(nèi)角度數(shù)能整除360°，任意多邊形能進(jìn)行鑲嵌，說(shuō)明它的內(nèi)角和應(yīng)能整除360°，幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．