Question

在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按這樣的規(guī)律進行下去，第2011個正方形的面積為　　．

 

Answer 1

【答案】

5（）⁴⁰²⁰

【解析】

試題分析：先利用ASA證明△AOD和△A₁BA相似，根據相似三角形對應邊成比例可以得到AB=2A₁B，所以正方形A₁B₁C₁C的邊長等于正方形ABCD邊長的，以此類推，后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的，然后即可求出第2011個正方形的邊長與第1個正方形的邊長的關系，從而求出第2011個正方形的面積．

解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，

∴∠ABA₁=90°，∠DAO+∠BAA₁=180°﹣90°=90°，

又∵∠AOD=90°，

∴∠ADO+∠DAO=90°，

∴∠ADO=∠BAA₁，

在△AOD和A₁BA中，，

∴△AOD∽△A₁BA，

∴==2，

∴BC=2A₁B，

∴A₁C=BC，

以此類推A₂C₁=A₁C，

A₃C₂=A₂C₁，

即后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的倍，

∴第2011個正方形的邊長為（）²⁰¹⁰BC，

∵A的坐標為（1，0），D點坐標為（0，2），

∴BC=AD==，

∴第2011個正方形的面積為[（）²⁰¹⁰BC]²=5（）⁴⁰²⁰．

故答案為：5（）⁴⁰²⁰．

考點：相似多邊形的性質；坐標與圖形性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．

點評：本題主要考查了相似三角形的性質與正方形的性質，根據規(guī)律推出第2011個正方形的邊長與第1個正方形的邊長的關系是解題的關鍵，也是難點，本題綜合性較強．