如圖,直角梯形ABCD中,∠DAB=60°,AC平分∠DAB,CB=6cm.點Q、P分別是AB、CD邊上的動點,點P從C點出發(fā),以0.5cm/s的速度向D點移動;點Q從A點出發(fā),以1cm/s的速度向B點移動;設(shè)Q、P同時出發(fā),移動時間為t(s),當(dāng)一個點停止移動,另一個也隨之停止移動.
(1)求CD的長;
(2)t為何值時,四邊形AQPD是等腰梯形?
(3)連接PQ,設(shè)PQ與AC的交點為O,求△AOQ的面積S(cm2)與時間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系;
(4)過Q點作QE⊥AD于E,問是否存在某一時刻t,使得四邊形AQPD是菱形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)易證△ADC是等腰三角形,作DM⊥AB,在直角△ADM中,即可根據(jù)三角函數(shù)求得AD的長,作DF⊥AC于F,則CF的長即可求得,進(jìn)而求得CD的長;
(2)設(shè)四邊形AQPD為等腰梯形,作PN⊥AB于N,作DM⊥AB于M.則當(dāng)AQ=AM+AM+PD時,四邊形是等腰梯形,即可求得t的值;
(3)根據(jù)△AOQ∽△COP,相似三角形的對應(yīng)邊的比相等,即可求得AO的長,根據(jù)三角函數(shù)即可求得OR的長度,根據(jù)三角形的面積公式即可求解;
(4)當(dāng)PQ∥AD,即PD=AQ時,PD=AD,則四邊形是菱形,據(jù)此即可得到關(guān)于時間t的方程,從而求解.
解答:解:(1)在直角△ABC中,∠CAB=30°,
∴AC=12cm,
作PN⊥AB,△DAC是等腰三角形,且∠DCA=30°.
作DF⊥AC于F,則CF=AC=6cm.
∴CD==4cm.

(2)設(shè)四邊形AQPD為等腰梯形,作PN⊥AB于N.作DM⊥AB于M.
則AM=QN=AD=2cm.
又∵PD=MN=4-0.5t,AQ=t,
∴2+2+(4-0.5t)=t,
解得:t=;

(3)∵△AOQ∽△COP,
===,
又∵AC=12,
∴AO=8
作OR⊥AB于R,則OR=AO×sin30°=4,
∴s=×AQ×OR=×t×4=2t;

(4)當(dāng)PQ∥AD,即PD=AQ時,且DP=AD.
由4-0.5t=t,得:t=
而AD===4,
故t不存在.
點評:本題主要考查了三角函數(shù)以及相似三角形的判定與性質(zhì),關(guān)鍵是理解四邊形AQPD是等腰梯形的條件.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,點E是AB邊上一點,AE=BC,DE⊥EC,取DC的中點F,連接AF、BF.
(1)求證:AD=BE;
(2)試判斷△ABF的形狀,并說明理由.

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如圖,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60度.以AD為邊在直角梯形精英家教網(wǎng)ABCD外作等邊三角形ADF,點E是直角梯形ABCD內(nèi)一點,且∠EAD=∠EDA=15°,連接EB、EF.
(1)求證:EB=EF;
(2)延長FE交BC于點G,點G恰好是BC的中點,若AB=6,求BC的長.

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精英家教網(wǎng)如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,且CD=2AD,tan∠ABC=2.
(1)求證:BC=CD;
(2)在邊AB上找點E,連接CE,將△BCE繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF.連接EF,如果EF∥BC,試畫出符合條件的大致圖形,并求出AE:EB的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•深圳二模)如圖,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60°.以AD為邊在直角梯形ABCD外作等邊三角形ADF,點E是直角梯形ABCD內(nèi)一點,且∠EAD=∠EDA=15°,連接EB、EF.
(1)求證:EB=EF;
(2)若EF=6,求梯形ABCD的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O切DC邊于E點,AD=3cm,BC=5cm.求⊙O的面積.

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