初步探索 感悟方法
如圖1用水平線和豎直線將平面分成若干個(gè)面積為1的小正方形格子,小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn),以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形.設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S,它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為x.

(1)上圖中的格點(diǎn)多邊形,其內(nèi)部都只有1個(gè)格點(diǎn),它們的面積S與各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x的對應(yīng)關(guān)系如下表:
序號
S 2 2.5 3 4
x 4 5 6 8
請用含x的代數(shù)式表示S,即S=
1
2
x
1
2
x
;
(2)進(jìn)一步探索:你可以畫出一些格點(diǎn)多邊形,使這些多邊形內(nèi)部有而且只有2個(gè)格點(diǎn),在這種情況下,用含x的代數(shù)式表示S,即S=
1
2
x+1
1
2
x+1
;
(3)請你繼續(xù)探索并歸納:當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有n個(gè)格點(diǎn)時(shí),直接寫出S與x之間的關(guān)系式.
積累經(jīng)驗(yàn) 拓展延伸
如圖2,對等邊三角形網(wǎng)格中的類似問題進(jìn)行探究:等邊三角形網(wǎng)格中每個(gè)小等邊三角形的面積為1,小等邊三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn),以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形.
(4)設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S,它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為x,當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有n個(gè)格點(diǎn)時(shí),直接寫出S與x之間的關(guān)系式.
分析:(1)由(1)可以直接得到S=
1
2
x;
(2)由圖可知多邊形內(nèi)部都有而且只有2格點(diǎn)時(shí),①的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10,面積為6,②的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4,面積為3,③的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6,面積為4,進(jìn)而得出答案;
(3)由圖可知多邊形內(nèi)部都有而且只有n格點(diǎn)時(shí),圖形的面積;
(4)由圖可知多邊形內(nèi)部都有而且只有n格點(diǎn)時(shí),圖形的面積.
解答:解:(1)∵①各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)和為:4,S=2,②各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)和為:5,S=2.5,
③各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)和為:6,S=3,
④各邊上格點(diǎn)個(gè)數(shù)和為:7,S=3.5,
∴S=
1
2
x;
故答案為:
1
2
x;

(2)由圖可知多邊形內(nèi)部都有而且只有2格點(diǎn)時(shí),
⑤的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4,面積為3,
⑥的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10,面積為6,
∴S=
1
2
x+1;
故答案為:
1
2
x+1;

(3)由圖1可知多邊形內(nèi)部都有而且只有n格點(diǎn)時(shí),面積為:S=
1
2
x+(n-1).

(4)由圖2可知多邊形內(nèi)部都有而且只有n格點(diǎn)時(shí),面積為:S=x+2(n-1).
點(diǎn)評:此題主要考查了應(yīng)用作圖與設(shè)計(jì),此題需要根據(jù)圖中表格和自己所算得的數(shù)據(jù),總結(jié)出規(guī)律.尋找規(guī)律是一件比較困難的活動,需要仔細(xì)觀察和大量的驗(yàn)算.
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