Question

已知：如圖，P是等邊△ABC外接圓的弧BC上一點(diǎn)，CP的延長(zhǎng)線和AB的延長(zhǎng)線相交于D點(diǎn)，連接BP．
求證：（1）∠D=∠CBP；（2）AC²=CP•CD．

Answer 1

【答案】分析：由題意要證角相等，需證三角形相似，根據(jù)圓周角定理及等邊三角形性質(zhì)得到相似條件；第二問根據(jù)第一問相似三角形條件得出相似比例，從而求解．
解答：證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=60°．
∴∠DBC=180°-∠ABC=120°．
∵四邊形ABPC為圓內(nèi)接四邊形，
∴∠A+∠BPC=180°．
∴∠BPC=120°．
∴∠DBC=∠BPC=120°．
又∵∠BCP=∠DCB，
∴△BPC∽△DBC．
∴∠D=∠CBP．

（2）由（1）知△BPC∽△DBC，
∴．
又∵AC=BC，
∴AC²=CP•CD．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考相似三角形的判定及相似三角形性質(zhì)，還考查等邊三角形的性質(zhì)，在圓中解題要分析各角之間的關(guān)系．