Question

已知：如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD⊥AB于M，交⊙O于E，連接CB交⊙O于F，求證：EF•DF=BF•CF．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)垂徑定理可以發(fā)現(xiàn)等弧，根據(jù)等弧所對的圓周角相等可以證明角相等．即∠BFD=∠BDC．再加上公共角，則可以發(fā)現(xiàn)△BDF∽△BCD；根據(jù)圓內接四邊形的外角等于它的內對角，可以得到∠EFC=∠BDC，再加上公共角，可以證明△BDC∽△EFC．從而借助中間比，證明結論．
解答：證明：∵AB是⊙O的直徑，DC⊥AB，
∴弧BD=弧BE，∠BDC=∠BFD．
∵∠DBF=∠CBD，
∴△BDF∽△BCD．
∴．
∵∠EFC=∠BDC，∠C=∠C，
∴△BDC∽△EFC．
∴∴．
∴EF•DF=BF•CF．
點評：能夠充分運用垂徑定理和圓周角定理以及圓內接四邊形的性質發(fā)現(xiàn)圓中的角相等；掌握相似三角形的判定和性質．能夠借助中間比證明一個比例式．