Question

【題目】如圖①，在矩形中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度沿向終點(diǎn)移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(s).連接，以為一邊作正方形，連接、.設(shè)的面積為(cm2). 與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示.

(1) cm， cm;

(2) 點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)的路徑是_________________ cm.

(3)當(dāng)為何值時(shí)，的面積最小?并求出這個(gè)最小值;

(4) 當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果。

Answer 1

【答案】（1）4,10； (2)10； (3)當(dāng)t=4時(shí)，最小值為6；（4）t=1，3，4 .

【解析】

（1）根據(jù)圖②三角形PCD的面積，可得矩形的長(zhǎng)和寬；

（2）由題意得：AP=t，PD=5-t，根據(jù)三角形面積公式可得y與t的關(guān)系式，由圖②得：S△DEF+S△PDC=S正方形EFPC，代入可得結(jié)論；

（3）當(dāng)△DEF為等腰三角形時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)計(jì)算PD和AP的長(zhǎng)，可得t的值．

（1）由圖②知：AD=5，

當(dāng)t=0時(shí)，P與A重合，y=×AD×CD=5，

×5×CD=5，

CD=2cm，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD=2cm，

故答案為：2，5；

（2）由題意得：AP=t，PD=5-t，

∴y=CDPD=2(5t)=5-t，

∵四邊形EFPC是正方形，

∴S△DEF+S△PDC=S正方形EFPC，

∵PC2=PD2+CD2，

∴PC2=22+（5-t）2=t2-10t+29，

∴S△DEF=（t2-10t+29）-（5-t）=t2-4t+=（t-4）2+，

當(dāng)t為4時(shí)，△DEF的面積最小，且最小值為；

（3）當(dāng)△DEF為等腰三角形時(shí)，分三種情況：

①當(dāng)FD=FE時(shí)，如下圖所示，過(guò)F作FG⊥AD于G，

∵四邊形EFPC是正方形，

∴PF=EF=PC，∠FPC=90°，

∴PF=FD，

∵FG⊥PD，

∴PG=DG=PD，

∵∠FPG+∠CPD=∠CPD+∠DCP=90°，

∴∠FPG=∠DCP，

∵∠FGP=∠PDC=90°，

∴△FPG≌△PDC（AAS），

∴PG=DC=2，

∴PD=4，

∴AP=5-4=1，

即t=1；

②當(dāng)DE=D時(shí)，如下圖所示，E在AD的延長(zhǎng)線上，此時(shí)正方形EFPC是正方形，PD=CD=2

∴AP=t=5-2=3

③當(dāng)DE=EF時(shí)，如下圖所示，過(guò)E作EG⊥CD于G，

∵FE=DE=EC，

∴CG=DG=CD=1，

同理得：△PDC≌△CGE（AAS），

∴PD=CG=1，

∴AP=t=5-1=4，

綜上，當(dāng)t=1s或3s或4s時(shí)，△DEF為等腰三角形．