Question

如圖，已知等腰Rt△AOB，其中∠AOB=90°，OA=OB=2，E、F為斜邊AB上的兩個動點（E比F更靠近A），滿足∠EOF=45°，
（1）求證：△AOF∽△BEO；
（2）求AF•BE的值；
（3）作EM⊥OA于M，F(xiàn)N⊥OB于N，求OM•ON的值；
（4）求線段EF長的最小值．（提示：必要時可以參考以下公式：當x＞0，y＞0時，或）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得∠A=∠B=45°；根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得∠AFO=∠B+∠BOF=45°+∠BOF，結(jié)合∠BOE=∠EOF+∠BOF=45°+∠BOF，證明∠AFO=∠BOE，從而根據(jù)兩角對應(yīng)相等，即可證明△AOF∽△BEO；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得，即AF•BE=4；
（3）作斜邊AB上的高OD，并記OM=a，ON=b．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可以分別用a表示ME，DF，BN的長；根據(jù)△MOE∽△DOF，就可求得OM•ON的值；
（4）用a和b表示EF的長，從而分析EF的最小值．
解答：（1）證明：∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°．
∵∠AFO=∠B+∠BOF=45°+∠BOF，
又∵∠BOE=∠EOF+∠BOF=45°+∠BOF，
∴∠AFO=∠BOE．
∴△AOF∽△BEO．

（2）∵△BOE∽△AOF，
∴，
∴AF•BE=4．

（3）作斜邊AB上的高OD，并記OM=a，ON=b．
則易得ME=2-a，OD=，F(xiàn)B=BN=（2-b），
DF=BD-BF=-（2-b）=（b-1），
∵∠EMO=∠ODF=90°，
∵∠EOF=45°，
∵∠MOE+∠EOD=∠FOD+∠EOD=45°
∴∠MOE=∠DOF，
∴△MOE∽△DOF，
∴，
∴，
∴ab=2，
即OM•ON=2．
（4）解：=，
所以，當，時，EF取得最小值．
點評：此題綜合考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及函數(shù)的最小值的求法．