Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)的圖象與拋物線y=x²+（9m+4）x+m-1交于點(diǎn)A（3，n）．
（1）求n的值及拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)A作直線BC，交x軸于點(diǎn)B，交反比例函數(shù)（x＞0）的圖象于點(diǎn)C，且AC=2AB，求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P到x軸和直線BC的距離相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A（3，n）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴n=，
∴A（3，）．
∵點(diǎn)A（3，）在拋物線y=x²+（9m+4）x+m-1上，
∴=9+（9m+4）×3+m-1，
∴m=-．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-；

（2）分別過點(diǎn)A、C作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E，
∴AD∥CE．
∴△ABD∽△CBE．
∴．
∵AC=2AB，
∴．
由題意，得AD=，
∴．
∴CE=4．
即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4．
當(dāng)y=4時，x=1，
∴C（1，4），
∵，DE=2，
∴．
∴BD=1．
∴B（4，0）；

（3）∵拋物線的對稱軸是x=1，
∴P在直線CE上．
過點(diǎn)P作PF⊥BC于F．
由題意，得PF=PE．
∵∠PCF=∠BCE，∠CFP=∠CEB=90°，
∴△PCF∽△BCE．
∴．
由題意，得BE=3，BC=5．
①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)時，設(shè)P（1，a）（a＞0）．
則有．解得．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）．
②當(dāng)點(diǎn)P在第四象限內(nèi)時，設(shè)P（1，a）（a＜0）
則有．解得a=-6．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-6）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）或（1，-6）．
分析：（1）由點(diǎn)A（3，n）在反比例函數(shù)的圖象上，即可求得n的值，又由點(diǎn)A在拋物線y=x²+（9m+4）x+m-1上，利用待定系數(shù)法即可求得；
（2）首先由AD∥CE，證得△ABD∽△CBE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得AD的長，則可求得CE的長，易得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）首先求得：拋物線的對稱軸，證得：△PCF∽△BCE，再分別從當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)時，設(shè)P（1，a）（a＞0）與當(dāng)點(diǎn)P在第四象限內(nèi)時，設(shè)P（1，a）（a＜0）利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解即可．
點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．