Question

【題目】如圖，∠ABM為直角，點C為線段BA的中點，點D是射線BM上的一個動點（不與點B重合），連接AD，作BE⊥AD，垂足為E，連接CE，過點E作EF⊥CE，交BD于F．
（1）求證：BF=FD；
（2）點D在運動過程中能否使得四邊形ACFE為平行四邊形？如不能，請說明理由；如能，求出此時∠A的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BE⊥AD，

∴∠AEB=90°，

在Rt△AEB中，∵點C為線段BA的中點，

∴CE= AB=CB，

∴∠CEB=∠CBE．

∵∠CEF=∠CBF=90°，

∴∠BEF=∠EBF，

∴EF=BF．

∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，

∴∠FED=∠EDF，

∵EF=FD．

∴BF=FD

（2）能．理由如下：

若四邊形ACFE為平行四邊形，則AC∥EF，AC=EF，

∴BC=BF，

∴BA=BD，∠A=45°．

∴當∠A=45°時四邊形ACFE為平行四邊形．

【解析】（1）由直角三角形斜邊上的中線性質得出CE=CB，由等腰三角形的性質和直角三角形的性質證出EF=BF，EF=FD，即可得出結論．（2）假設點D在運動過程中能使四邊形ACFE為平行四邊形，則AC∥EF，AC=EF，由（1）知AC=CB= AB，EF=BF= BD，則BC=EF=BF，即BA=BD，∠A=45°．
【考點精析】掌握平行四邊形的判定是解答本題的根本，需要知道兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．