Question

【題目】如圖，點P( x， y1)與Q (x， y2)分別是兩個函數(shù)圖象C1與C2上的任一點. 當a ≤ x ≤ b時，有-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，則稱這兩個函數(shù)在a ≤ x ≤ b上是“相鄰函數(shù)”，否則稱它們在a ≤ x ≤ b上是“非相鄰函數(shù)”．

例如，點P(x， y1)與Q (x， y2)分別是兩個函數(shù)y = 3x+1與y = 2x - 1圖象上的任一點，當-3 ≤ x ≤ -1時，y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2，通過構(gòu)造函數(shù)y = x + 2，并研究它在-3 ≤ x ≤ -1上的性質(zhì)，得到該函數(shù)值的范圍是-1 ≤ y ≤ 1，所以-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，因此這兩個函數(shù)在-3 ≤ x ≤ -1上是“相鄰函數(shù)”．

（1）判斷函數(shù)y = 3x + 2與y = 2x + 1在-2 ≤ x≤ 0上是否為“相鄰函數(shù)”，并說明理由；

（2）若函數(shù)y = x2 - x與y = x - a在0 ≤ x ≤ 2上是“相鄰函數(shù)”，求a的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析；（2）

【解析】

（1）通過構(gòu)建函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得出該函數(shù)在0≤x≤2上單調(diào)遞增，分別代入x=0、x=2即可得出y的取值范圍，由此即可得出結(jié)論；

（2）由函數(shù)y=x2-x與y = x - a在0≤x≤2上是“相鄰函數(shù)”，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)拋物線在0 ≤ x ≤ 2函數(shù)的取值范圍，令其最大值≤1、最小值≥-1，解關(guān)于a的不等式組即可得出結(jié)論．

解：（1）是“相鄰函數(shù)”．

理由如下：，構(gòu)造函數(shù)．

在上隨著的增大而增大，

當時，函數(shù)有最大值1，當時，函數(shù)有最小值，即.

．

即函數(shù)與在上是“相鄰函數(shù)”．

（2），構(gòu)造函數(shù)．

，頂點坐標為

又拋物線的開口向上，

當時，函數(shù)有最小值，

當或時，函數(shù)有最大值，即，

函數(shù)與在上是“相鄰函數(shù)”，

，即，

．