Question

【題目】

如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x＝－1，且經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B.

⑴若直線y＝mx＋n經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；

⑵在拋物線的對(duì)稱軸x＝－1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；⑶設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x＝－1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）M（－1，2）；（3）滿足條件的點(diǎn)P共有四個(gè),分別為(－1，－2), (－1，4), (－1，) ,(－1，)．

【解析】

試題分析：（1）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱軸為直線x＝－1，且經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，可得方程組，解方程組可求得a、b、c的值，即可得拋物線的解析式；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性和點(diǎn)A的坐標(biāo)（1，0）可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)（－3，0），用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式；（2）使MA+MC最小的點(diǎn)M應(yīng)為直線BC與對(duì)稱軸x＝－1的交點(diǎn)，把x=-1代入直線BC的解析式求得y的值，即可得點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）分①B為直角頂點(diǎn)，②C為直角頂點(diǎn)，③P為直角頂點(diǎn)三種情況分別求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）依題意，得 解之，得

∴拋物線解析式為．

∵對(duì)稱軸為x＝－1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），

∴B（－3，0）．

把B（－3，0）、C（0，3）分別直線y＝mx＋n，得

解之，得

∴直線BC的解析式為．

（2）∵MA=MB，∴MA+MC=MB+MC.

∴使MA+MC最小的點(diǎn)M應(yīng)為直線BC與對(duì)稱軸x＝－1的交點(diǎn).

設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x＝－1的交點(diǎn)為M，把x＝－1

代入直線，得y＝2.

∴M（－1，2）

（3）設(shè)P（－1，t），結(jié)合B（－3，0），C（0， 3），得BC2＝18，

PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，

PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.

①若B為直角頂點(diǎn)，則BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10.

解之,得t＝－2.

②若C為直角頂點(diǎn)，則BC2＋PC2＝PB2，即

18＋t2－6t＋10＝4＋t2．解之，得t＝4．

③若P為直角頂點(diǎn)，則PB2＋PC2＝BC2，即

4＋t2＋t2－6t＋10＝18．解之，得t1＝，t2＝．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有四個(gè),分別為(－1，－2), (－1，4), (－1，) ,(－1，)．