如圖①,正方形ABCD中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(0,12),(8,6),點(diǎn)C在第一象限.動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上,從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B→C→D勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)(1,0)出發(fā),以相同速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)P點(diǎn)到D點(diǎn)時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)正方形邊長(zhǎng)
 
,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)
 

(2)當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),△OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)的函數(shù)圖象是如圖②所示的拋物線的一部分,求點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)速度;
(3)求在(2)中當(dāng)t為何值時(shí),△OPQ的面積最大,并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);
(4)如果點(diǎn)P、Q保持原速度速度不變,當(dāng)點(diǎn)P沿A?B?C?D勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),OP與PQ能否相等,若能,直接寫出所有符合條件的t的值.
精英家教網(wǎng)
分析:(1)如圖,在直角三角形BFA中,根據(jù)A、B的坐標(biāo)可知:AF=6,BF=8,因此AB=10,即正方形的邊長(zhǎng)為10.易證△ABF≌△BCG,因此CG=BF=8,AF=BG=6,因此CH=14,F(xiàn)G=14,即C點(diǎn)的坐標(biāo)為(14,14);
(2)根據(jù)圖象可知:當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),總共用去的時(shí)間為10s,而AB=10,因此P的速度為1,Q與P的速度相同,因此Q的速度也是1;
(3)在三角形OPQ中,OQ=1+t,關(guān)鍵是求出OQ邊上的高,可過P作PM⊥y軸于M,根據(jù)相似三角形APM和ABF可求出AM=
3
5
t,因此OM=12-
3
5
t,根據(jù)三角形的面積公式即可求出S,t的函數(shù)關(guān)系式.根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值;
(4)本題要分四種情況進(jìn)行討論:
精英家教網(wǎng)①P在AB上,②P在BC上,③P在BC上,④P在AD上.
選兩種情況進(jìn)行說明:
①P在AB上,如圖:在直角三角形APM中,根據(jù)∠APM的余弦值易得出PM=
3t
5
,如果OP=OQ,那么PM=
1
2
OQ,即
3
5
t=
1+t
2
,解得t=1.
③P在CD上,如圖:在直角三角形PCR中,易知:CR=
4
5
CP=
4
5
(t-20),因此PM=RN=14-
4
5
(t-20)=30-
4
5
t,根據(jù)①的解題思路可知:PM=
1
2
OQ,即30-
4
5
t=
1+t
2
,解得t=
295
13

其它兩種情況求解方法同①③.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)10,(14,14);

(2)由圖象知,點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)間10,路程是10,所以點(diǎn)P,Q速度為1;

(3)作BE⊥x軸于E,BF⊥y軸于F,過P作PM⊥y軸于M,
由△APM∽△ABF易得OM=12-
3
5
t,
S=
1
2
(1+t)(12-
3
5
t)=-
3
10
t2+
57
10
t+6,
所以t=9.5時(shí)S有最大值.精英家教網(wǎng)
此時(shí)點(diǎn)P(7.6,6.3);

(4)t=1,t=
295
13
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、三角形相似、圖形面積的求法、等腰三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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21、如圖,在正方形網(wǎng)格上的一個(gè)△ABC.(其中點(diǎn)A、B、C均在網(wǎng)格上)
(1)作△ABC關(guān)于直線MN的軸對(duì)稱圖形;
(2)以P點(diǎn)為一個(gè)頂點(diǎn)作一個(gè)與△ABC全等的三角形(規(guī)定點(diǎn)P與點(diǎn)B對(duì)應(yīng),另兩頂點(diǎn)都在圖中網(wǎng)格交點(diǎn)處).

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如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角.點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.如果AB=AC,∠BAC=90°.
解答下列問題:
(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合),如圖甲,線段CF、BD之間的位置關(guān)系為
垂直
垂直
,數(shù)量關(guān)系為
相等
相等

(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖乙,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?(要求寫出證明過程)

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如圖,在正方形網(wǎng)格上有一個(gè)△ABC.
(1)利用網(wǎng)格畫出AC邊上的中線BD(不寫畫法,寫出結(jié)論,下同);
(2)利用網(wǎng)格畫出△ABC邊BC上的高;
(3)用直尺和圓規(guī)在右邊方框中作一個(gè)△A′B′C′與△ABC全等.

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