Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過C點的切線與AB的延長線交于點D，CE∥AB交⊙O于點E，連接AC、BC、AE．

（1）求證：①∠DCB=∠CAB；②CDCE=CBCA；

（2）作CG⊥AB于點G．若tan∠CAB＝（k＞1），求的值（用含k的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）①過點C作直徑CF，連接BF.即可得又由直徑所對的圓周角等于直角，可得又由切線的性質，可得是直角，即可證得 ②由EC∥AB，易證得∠4=∠3=∠BCD.有圓的內接四邊形的對角互補，可得∠CBD=∠AEC.即可證得則得到
（2）在與中，利用三角函數的性質，即可求得的值．

詳解：（1）證明：①如圖1，

作直徑CF，連接BF.

∴

則

∵CD切于C，

∴OC⊥CD，

則

∴∠BCD=∠CAB.

②∵EC∥AB，∠BCD=∠3，

∴∠4=∠3=∠BCD.

∵

∵

∴∠CBD=∠AEC.

∴△ACE∽△DCB.

∴

∴CDCE=CBCA.

（2）如圖2，連接EB，交OC于點H，

∵CG⊥AB于點G,

∴∠3=∠BCG.

∴AE=BC，

∠3=∠4.

∴∠3=∠EBG.

∴∠BCG=∠EBG.

∵

∴在Rt△HGB中,

在Rt△BCG中,

設HG=a,則

∵EC∥AB，

∴△ECH∽△BGH.

∴