Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（，0）和點(diǎn)B（1，），與x軸的另一個交點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D在對稱軸的右側(cè)，x軸上方的拋物線上，且∠BDA=∠DAC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接BD，交拋物線對稱軸于點(diǎn)E，連接AE．
①判斷四邊形OAEB的形狀，并說明理由；
②點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是直線BD的一個動點(diǎn)，且點(diǎn)M與點(diǎn)B不重合，當(dāng)∠BMF=∠MFO時，請直接寫出線段BM的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x軸，點(diǎn)B與點(diǎn)D縱坐標(biāo)相同，解一元二次方程求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）①由BE與OA平行且相等，可判定四邊形OAEB為平行四邊形；
②點(diǎn)M在點(diǎn)B的左右兩側(cè)均有可能，需要分類討論．綜合利用相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，求出線段BM的長度．
解答：解：（1）將A（，0）、B（1，）代入拋物線解析式y(tǒng)=x²+bx+c，得：
，
解得：．
∴y=x²x+．

（2）當(dāng)∠BDA=∠DAC時，BD∥x軸．
∵B（1，），
當(dāng)y=時，=x²x+，
解得：x=1或x=4，
∴D（4，）．

（3）①四邊形OAEB是平行四邊形．
理由如下：拋物線的對稱軸是x=，
∴BE=-1=．
∵A（，0），
∴OA=BE=．
又∵BE∥OA，
∴四邊形OAEB是平行四邊形．
②∵O（0，0），B（1，），F(xiàn)為OB的中點(diǎn)，∴F（，）．
過點(diǎn)F作FN⊥直線BD于點(diǎn)N，則FN=-=，BN=1-=．
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF==．
∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，
∴∠FBM=2∠BMF．
（I）當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)B右側(cè)時．
在直線BD上點(diǎn)B左側(cè)取一點(diǎn)G，使BG=BF=，連接FG，則GN=BG-BN=1，
在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG==．
∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG．
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，
∴∠BFG=∠BMF，又∵∠MGF=∠MGF，
∴△GFB∽△GMF，
∴，即，
∴BM=；
（II）當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)B左側(cè)時．
設(shè)BD與y軸交于點(diǎn)K，連接FK，則FK為Rt△KOB斜邊上的中線，
∴KF=OB=FB=，
∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，
∴∠BMF=∠MFK，
∴MK=KF=，
∴BM=MK+BK=+1=．
綜上所述，線段BM的長為或．
點(diǎn)評：本題是中考壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、解方程、相似三角形、等腰三角形、平行四邊形、勾股定理等知識點(diǎn)．難點(diǎn)在于第（3）②問，滿足條件的點(diǎn)M可能有兩種情形，需要分類討論，分別計(jì)算，避免漏解．