Question

（1999•黃岡）已知拋物線y=x²+3mx+18m²-m與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，b），O為原點(diǎn)．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m，且OA+OB=3OC，求拋物線解析式及A，B，C的坐標(biāo)；
（3）在（2）情形下，點(diǎn)P、Q分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（如圖）以相同的速度沿AB、OC向B、C運(yùn)動(dòng)，連接PQ與BC交于M，設(shè)AP=k，問是否存在k值，使以P、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求所有k值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線y=x²+3mx+18m²-m與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，則判別式△＞0，解此不等式即可求出m的取值范圍；
（2）由拋物線與一元二次方程的關(guān)系以及OA+OB=3OC，可求出m的值，進(jìn)而求出拋物線的解析式及A，B，C的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)題意，當(dāng)以P、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，由于點(diǎn)B與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，則分兩種情況．①P與A對(duì)應(yīng)，②P與C對(duì)應(yīng)．對(duì)于前一種情形，得到PQ∥AC，運(yùn)用平行線分線段成比例定理可求出k值；對(duì)于后一種情形，得到△ABC∽△MBP，運(yùn)用三角函數(shù)的定義及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出k值．
解答：解：（1）依題意有△=（3m）²-4×（18m²-m）=m＞0，
∴m＞0；（3分）

（2）∵m，∴x₁＜0，x₂＜0，
由OA+OB=3•OC，有-x₁-x₂=3（18m²-m），
24m=3（18m²-m），
∴m=0（舍去）或m=．
∴y=x²+．（6分）
∴A（-8，0），B（-4，0），C（0，4）；（7分）

（3）當(dāng)PQ∥AC時(shí)，△ABC∽△PBM，
則即，
∴（9分）
當(dāng)PQ不與AC平行，
∠CAB=∠PMB時(shí)，△ABC∽△MBP．
過B作AC的垂線，D為垂足．
sinA=∴（10分）
∵∠ACB=∠MPB，∴Rt△CDB∽R(shí)t△POQ．（11分）
∴∴
即
顯然0＜k＜4．
∴=，∴
∴k=2．
∴存在k符合題目條件，即當(dāng)k=或2時(shí)，
所得三角形與△ABC相似．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，三角函數(shù)的定義，相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．（3）題中，要根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的不同分類討論，不要漏解．