Question

一個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)都是正整數(shù)，體積是2002，若對(duì)應(yīng)棱長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方體算作同一種長(zhǎng)方體，那么這樣的長(zhǎng)方體

1. A.
   有6種，
2. B.
   有12種．
3. C.
   有14種．
4. D.
   多于16種．

Answer 1

C
不失一般性，可設(shè)長(zhǎng)方體在同一頂點(diǎn)處的三條棱長(zhǎng)分別為
a≤b≤c，
又2002＝1×2×7×11×13．
①當(dāng)a＝b＝1時(shí)，c＝2002，這樣的長(zhǎng)方體只有1種；
②當(dāng)a＝1，b是質(zhì)數(shù)2，7，11，13中的一個(gè)時(shí)，這樣的長(zhǎng)方體共有4種；
③當(dāng)a＝1，b是2，7，11，13中的兩個(gè)數(shù)的乘積時(shí)，則有b＝2×7，b＝2×11，b＝2×13共3種可能(b不能是7×11或7×13或11×13)；
④當(dāng)a＝2時(shí)，b是7，11，13中的一個(gè)時(shí)，這樣的長(zhǎng)方體有3種；
⑤當(dāng)a＝7時(shí)，b是11或13中的一個(gè)時(shí)，這樣的長(zhǎng)方體有2種；
⑥當(dāng)a＝11時(shí)，b只能取13，這樣的長(zhǎng)方體只有1種．
綜上所述，符合條件的長(zhǎng)方體有14種，選C．