設n為自然數,則n2+n+2的整除情況是( )
A.既不能被2整除,也不能被5整除
B.一定能被2整除,但不一定能被5整除
C.不能被2整除,但能被5整除
D.既能被2整除,又能被5整除
【答案】分析:本題分是否能被2整除和能被5整除討論.關于是否能被2整除,可分n為奇數還是偶數討論,①令n=2k(k為大于零的自然數)時;①令n=2k+1(k為大于零的自然數)時,化簡驗證能被2整除.關于是否能被5整除,可采用舉例法,即令n=3或5等,即可證明.
解答:解:∵n2+n+2=n(n+1)+2,
①令n=2k(k為大于零的自然數)時,則原式=2k(2K+1)+2=2(2k2+k+1),
可見n能被2整除.
②令n=2k+1(k為大于零的自然數)時,則原式=(2k+1)(2K+2)+2=2(2k2+3k+1),
可見n也能被2整除.
令n=1,代入n2+n+2=4,顯然n不一定被5整除.
綜合上面可知,n2+n+2一定能被2整除,但不一定能被5整除.
故選B.
點評:本題考查數的整除性問題.解決本題的關鍵是否能被2整除,就n為偶數與奇數討論;對于是否能被5整除,可分5種情況討論,也可用特殊值代入.