Question

設n為自然數，則n²+n+2的整除情況是（ ）
A．既不能被2整除，也不能被5整除
B．一定能被2整除，但不一定能被5整除
C．不能被2整除，但能被5整除
D．既能被2整除，又能被5整除

Answer 1

【答案】分析：本題分是否能被2整除和能被5整除討論．關于是否能被2整除，可分n為奇數還是偶數討論，①令n=2k（k為大于零的自然數）時；①令n=2k+1（k為大于零的自然數）時，化簡驗證能被2整除．關于是否能被5整除，可采用舉例法，即令n=3或5等，即可證明．
解答：解：∵n²+n+2=n（n+1）+2，
①令n=2k（k為大于零的自然數）時，則原式=2k（2K+1）+2=2（2k²+k+1），
可見n能被2整除．
②令n=2k+1（k為大于零的自然數）時，則原式=（2k+1）（2K+2）+2=2（2k²+3k+1），
可見n也能被2整除．
令n=1，代入n²+n+2=4，顯然n不一定被5整除．
綜合上面可知，n²+n+2一定能被2整除，但不一定能被5整除．
故選B．
點評：本題考查數的整除性問題．解決本題的關鍵是否能被2整除，就n為偶數與奇數討論；對于是否能被5整除，可分5種情況討論，也可用特殊值代入．