Question

【題目】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，∠A＝30°，BC＝2，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AC于點(diǎn)F．

（1）求劣弧PC的長(zhǎng)；（結(jié)果保留π）

（2）求陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）劣弧PC的長(zhǎng)為π；（2）S陰影＝π﹣．

【解析】

（1）根據(jù)垂徑定理得PD⊥AB，進(jìn)而根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得OF＝OP，從而求得半徑為r，再利用弧長(zhǎng)公式求解即可．

（2）根據(jù)勾股定理求得PF的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形面積公式和扇形面積公式求解即可．

（1）∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，PD經(jīng)過(guò)圓心，

∴PD⊥AB，

∵∠A＝30°，

∴∠POC＝∠AOD＝60°，OA＝2OD，

∵PF⊥AC，

∴∠OPF＝30°，

∴OF＝OP，

∵OA＝OC，AD＝BD，

∴BC＝2OD，

∴OA＝BC＝2，

∴⊙O的半徑為2，

∴劣弧PC的長(zhǎng)＝＝＝π；

（2）∵OF＝OP，

∴OF＝1，

∴PF＝＝，

∴S陰影＝S扇形﹣S△OPF＝﹣×1×＝π﹣．