Question

（2012•畢節(jié)地區(qū)）如圖，直線l₁經(jīng)過點A（-1，0），直線l₂經(jīng)過點B（3，0），l₁、l₂均為與y軸交于點C（0，-

3

），拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）拋物線的對稱軸依次與x軸交于點D、與l₂交于點E、與拋物線交于點F、與l₁交于點G．求證：DE=EF=FG；
（3）若l₁⊥l₂于y軸上的C點處，點P為拋物線上一動點，要使△PCG為等腰三角形，請寫出符合條件的點P的坐標，并簡述理由．

Answer 1

分析：（1）已知A、B、C三點坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）D、E、F、G四點均在對稱軸x=1上，只要分別求出其坐標，就可以得到線段DE、EF、FG的長度．
D是對稱軸與x軸交點，F(xiàn)是拋物線頂點，其坐標易求；E是對稱軸與直線l₂交點，需要求出l₂的解析式，G是對稱軸與l₁的交點，需要求出l₁的解析式，而A、B、C三點坐標已知，所以l₁、l₂的解析式可以用待定系數(shù)法求出．至此本問解決；
（3）△PCG為等腰三角形，需要分三種情況討論．如解答圖所示，在解答過程中，充分注意到△ECG為含30度角的直角三角形，△P₁CG為等邊三角形，分別利用其幾何性質(zhì)，則本問不難解決．

解答：解：（1）拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，-

3

）三點，
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=- 3

，解得a=

3

3

，b=-

2

3

3

，c=-

3

，
∴拋物線的解析式為：y=

3

3

x²-

2

3

3

x-

3

．

（2）設(shè)直線l₁的解析式為y=kx+b，由題意可知，直線l₁經(jīng)過A（-1，0），C（0，-

3

）兩點，
∴

-k+b=0 b=- 3

，解得k=-

3

，b=-

3

，∴直線l₁的解析式為：y=-

3

x-

3

；
直線l₂經(jīng)過B（3，0），C（0，-

3

）兩點，同理可求得直線l₂解析式為：y=

3

3

x-

3

．
∵拋物線y=

3

3

x²-

2

3

3

x-

3

=

3

3

（x-1）²-

4

3

3

，
∴對稱軸為x=1，D（1，0），頂點坐標為F（1，-

4

3

3

）；
點E為x=1與直線l₂：y=

3

3

x-

3

的交點，令x=1，得y=-

2

3

3

，∴E（1，-

2

3

3

）；
點G為x=1與直線l₁：y=-

3

x-

3

的交點，令x=1，得y=-2

3

，∴G（1，-2

3

）．
∴各點坐標為：D（1，0），E（1，-

2

3

3

），F(xiàn)（1，-

4

3

3

），G（1，-2

3

），它們均位于對稱軸x=1上，
∴DE=EF=FG=

2

3

3

．

（3）如右圖，過C點作C關(guān)于對稱軸x=1的對稱點P₁，CP₁交對稱軸于H點，連接CF．
△PCG為等腰三角形，有三種情況：
①當CG=PG時，如右圖，由拋物線的對稱性可知，此時P₁滿足P₁G=CG．
∵C（0，-

3

），對稱軸x=1，∴P₁（2，-

3

）．
②當CG=PC時，此時P點在拋物線上，且CP的長度等于CG．
如右圖，C（0，-

3

），H點在x=1上，∴H（1，-

3

），
在Rt△CHG中，CH=1，HG=|y_G-y_H|=|-2

3

-（-

3

）|=

3

，
∴由勾股定理得：CG=

12+( 3 )2

=2．
∴PC=2．
如右圖，CP₁=2，此時與①中情形重合；
又Rt△OAC中，AC=

12+( 3 )2

=2，∴點A滿足PC=2的條件，但點A、C、G在同一條直線上，所以不能構(gòu)成等腰三角形．
③當PC=PG時，此時P點位于線段CG的垂直平分線上．
∵l₁⊥l₂，∴△ECG為直角三角形，
由（2）可知，EF=FG，即F為斜邊EG的中點，
∴CF=FG，∴F為滿足條件的P點，∴P₂（1，-

4

3

3

）；
又cos∠CGE=

CG

EG

=

3

2

，∴∠CGE=30°，∴∠HCG=60°，
又P₁C=CG，∴△P₁CG為等邊三角形，
∴P₁點也在CG的垂直平分線上，此種情形與①重合．
綜上所述，P點的坐標為P₁（2，-

3

）或P₂（1，-

4

3

3

）．

點評：作為中考壓軸題，本題考查的知識點比較多，包括二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)、一次函數(shù)）解析式、等腰三角形、等邊三角形以及勾股定理等．難點在于第（3）問，需要針對等腰三角形△PCG的三種可能情況分別進行討論，在解題過程中，需要充分挖掘并利用題意隱含的條件（例如直角三角形、等邊三角形），這樣可以簡化解答過程．