Question

如圖1，已知直線y=kx與拋物線交于點A（3，6）．
（1）求k的值；
（2）點P為拋物線第一象限內(nèi)的動點，過點P作直線PM，交x軸于點M（點M、O不重合），交直線OA于點Q，再過點Q作直線PM的垂線，交y軸于點N．試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，說明理由；
（3）如圖2，若點B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點，點E在線段OA上（與點O、A不重合），點D（m，0）是x軸正半軸上的動點，且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD．繼續(xù)探究：m在什么范圍時，符合條件的E點的個數(shù)分別是1個、2個？

Answer 1

【答案】分析：（1）將點A的坐標(biāo)代入到正比例函數(shù)的解析式后利用待定系數(shù)法求出直線y=kx的解析式；
（2）如答圖1，過點Q作QG⊥y軸于點G，QH⊥x軸于點H，構(gòu)造相似三角形△QHM與△QGN，將線段QM與線段QN的長度之比轉(zhuǎn)化為相似三角形的相似比，即 ===tan∠AOM=2為定值．需要注意討論點的位置不同時，這個結(jié)論依然成立；
（3）延長AB交x軸于點F，過點F作FC⊥OA于點C，過點A作AR⊥x軸于點R．由已知條件角的相等關(guān)系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．借助得到的二次函數(shù)圖象（如答圖3），可見m在不同取值范圍時，x的取值（即OE的長度，或E點的位置）有1個或2個．這樣就將所求解的問題轉(zhuǎn)化為分析二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題．
另外，在相似三角形△ABE與△OED中，運(yùn)用線段比例關(guān)系之前需要首先求出AB的長度．如答圖2，可以通過構(gòu)造相似三角形，或者利用一次函數(shù)（直線）的性質(zhì)求得AB的長度．
解答：解：（1）把點A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2．…（3分）；
（2）線段QM與線段QN的長度之比是一個定值，…（4分）；
理由如下：
如圖1，過點Q作QG⊥y軸于點G，QH⊥x軸于點H．
①當(dāng)QH與QM重合時，顯然QG與QN重合，
此時．…（6分）；
②當(dāng)QH與QM不重合時，
∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨設(shè)點H，G分別在x、y軸的正半軸上，
∴∠MQH=∠GQN．
又∵∠QHM=∠QGN=90°，∴△QHM∽△QGN．∴．
當(dāng)點P、Q在拋物線和直線上不同位置時，同理可得．…（8分）；
∴線段QM與線段QN的長度之比是一個定值．
（3）如圖2，延長AB交x軸于點F，過點F作FC⊥OA于點C，過點A作AR⊥x軸于點R．
∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF．
∴OC=AC=．
∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
∴△AOR∽△FOC．∴．∴OF=．
∴點F（，0）．…（9分）；
設(shè)點B（x，），過點B作BK⊥AR于點K，則△AKB∽△ARF．
∴
，即．
解得x₁=6，x₂=3（舍去）．∴點B（6，2）．…（10分）；
∴BK=6-3=3，AK=6-2=4．∴AB=5．
在△ABE與△OED中，∵∠BAE=∠BED，
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB．
∴∠ABE=∠DEO．
∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED．
設(shè)OE=x，則AE=-x （），
由△ABE∽△OED得，即．
∴．
∴頂點為
．如圖3，當(dāng)時，OE=x=，此時E點有1個；
當(dāng)時，任取一個m的值都對應(yīng)著兩個x值，此時E點有2個．…（14分）；
∴當(dāng)時，E點只有1個，當(dāng)時，E點有2個．
點評：本題是中考壓軸題，難度較大，解題核心是相似三角形與拋物線的相關(guān)知識，另外也考查了一次函數(shù)、勾股定理等重要知識點．解題的難點在于轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，本題第（2），（3）問都涉及到了問題的轉(zhuǎn)化，要求同學(xué)們能夠?qū)⑺�求解的問題轉(zhuǎn)化為常見的數(shù)學(xué)問題，利用自己所熟悉的數(shù)學(xué)知識去解決問題，否則解題時將不知道從何下手而導(dǎo)致失分．